ІІ вариант 1. Один из углов трапеции равен 127° .Найдите все остальные углы
трапеции ,если трапеция:
а)равнобокая .
б)прямоугольная .
2. Найдите длину средней линии трапеции, если ее основания равны 17см и 25см.
3. Найдите неизвестное основание трапеции, если средняя линия равна 30см, а одно из оснований 50см.
4. Основания равнобокой трапеции равны 20см и 36см. Найдите длины отрезков, на которые средняя линия делится диагоналями
трапеции.
5. Основания трапеции равны 5см и 11см. Каждую из боковых сторон поделили на 4 равные части и соединили отрезками. Найдите длины этих отрезков.
Определение. Параллелограмм - это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).
Параллелограммы отличаются между собой как размером прилегающих сторон, так и углами, однако противоположные углы одинаковые.
Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон:
AB||CD, BC||AD
2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон:
AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)
3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны:
AB = CD, BC = AD
4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны:
∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA
5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам:
AO = OC, BO = OD
6. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°:
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
7. В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:
AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2
Основные свойства параллелограмма
Квадрат, прямоугольник и ромб - есть параллелограммом.
1. Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину:
AB = CD, BC = AD
2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Противоположные углы параллелограмма одинаковые:
∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB
4. Сумма углов параллелограмма равна 360°:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
5. Сумма углов параллелограмма прилегающих к любой стороне равна 180°:
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
6. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника
7. Две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников
8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:
AO = CO = d1
2
BO = DO = d2
2
9. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма
10. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:
AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2
11. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны
12. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)
Стороны параллелограмма
Формулы определения длин сторон параллелограмма:
1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:
a = √d12 + d22 - 2d1d2·cosγ 2 = √d12 + d22 + 2d1d2·cosδ 2
b = √d12 + d22 + 2d1d2·cosγ 2 = √d12 + d22 - 2d1d2·cosδ 2
2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:
a = √2d12 + 2d22 - 4b2
2
b = √2d12 + 2d22 - 4a2
2
3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:
a = hb
sin α
b = ha
sin α
4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:
a = S
ha
b = S
hb
Диагонали параллелограмма
Определение. Диагональю параллелограмма называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма.
Параллелограмм имеет две диагонали - длинную d1, и короткую - d2
Формулы определения длины диагонали параллелограмма:
1. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла β (по теореме косинусов)
d1 = √a2 + b2 - 2ab·cosβ
d2 = √a2 + b2 + 2ab·cosβ
2. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла α (по теореме косинусов)
d1 = √a2 + b2 + 2ab·cosα
d2 = √a2 + b2 - 2ab·cosα
3. Формула диагонали параллелограмма через две стороны и известную другую диагональ:
d1 = √2a2 + 2b2 - d22
d2 = √2a2 + 2b2 - d12
4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:
d1 = 2S = 2S
d2·sinγ d2·sinδ
d2 = 2S = 2S
d1·sinγ d1·sinδ
Периметр параллелограмма
Определение. Периметром параллелограмма называется сумма длин всех сторон параллелограмма.
Формулы определения длины периметра параллелограмма:
1. Формула периметра параллелограмма через стороны параллелограмма:
P = 2a + 2b = 2(a + b)
2. Формула периметра параллелограмма через одну сторону и две диагонали:
P = 2a + √2d12 + 2d22 - 4a2
P = 2b + √2d12 + 2d22 - 4b2
3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:
P = 2(b + hb )
sin α
P = 2(a + ha )
sin α
Площадь параллелограмма
Определение. Площадью параллелограмма называется ограниченный сторонами параллелограмма, т.е. в пределах периметра параллелограмма.
Формулы определения площади параллелограмма:
1. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту, проведенную к этой стороне:
S = a · ha
S = b · hb
2. Формула площади параллелограмма через две стороны и синус угла между ними:
S = ab sinα
S = ab sinβ
3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:
S = 1 d1d2 sin γ
2
S = 1 d1d2 sin δ
2
Объяснение:
Найдите ∠ODC.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит АО = ОВ = ОС = OD.
ΔАОВ равнобедренный. ОТ - его высота, проведенная к основанию, а значит и биссектриса. Тогда
∠АОВ = 2∠ТОВ = 2 · 25° = 50°.
∠COD = ∠АОВ = 50° как вертикальные.
ΔCOD равнобедренный, значит углы при основании равны.
∠ODC = ∠OCD = (180° - 50°)/2 = 130°/2 = 65°
2. Найдите диагонали ромба, если известно, что их полусумма равна 8,2 мм и одна из них в 3 раза меньше другой.
Пусть х мм - длина одной диагонали, тогда
3х мм - длина другой.
Их сумма равна 8,2 · 2 = 16,4 мм
x + 3x = 16,4
4x = 16,4
x = 4,1
3x = 12,3
ответ: 4,1 мм, 12,3 мм
3. А₁А₂А₃А₄ - квадрат со стороной а и диагональю b. О - точка пересечения диагоналей, ОЕ - высота треугольника А₁ОА₄.
Как найти периметр треугольника А₁ОЕ?
Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам.
Тогда А₁О = ОА₄ = b/2.
В равнобедренном треугольнике А₁ОА₄ высота ОЕ является медианой, значит А₁Е = а/2.
ОЕ║А₁А₂ как перпендикуляры к одной прямой, О - середина А₂А₄, тогда
ОЕ - средняя линия треугольника А₁А₂А₄.
ОЕ = А₁А₂/2 = а/2
Pa₁oe = А₁О + ОЕ + А₁Е = b/2 + a/2 + a/2 = b/2 + a
4. Найдите неверное утверждение.
1) у прямоугольника диагонали не взаимно перпендикулярны;
2) и у прямоугольника, и у квадрата все стороны равны - не верно, так как у прямоугольника равны только противолежащие стороны.
3) квадрат нельзя назвать ромбом - не верно, так как ромб - это параллелограмм с равными сторонами, а у квадрата все стороны равны и противоположные стороны параллельны.
4) и у прямоугольника, и у квадрата все углы прямые.