Вариант 3 1. Докажите равенство треугольников АBM и CDM (рис. 46), если АМ = СМ и <BAM = ZDCM.
2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 49 см, а основание на 7 см больше боковой стороны.
3. На боковых сторонах АB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки Мик так, что ВМ = ВК. Докажите, что <ВАК = ZBCM.
4. Известно, что СК = DК и <СКР = <DКР
(рис. 47). Докажите, что <МСP = <MDP.
5. CepeДИHHBй перпендикуляр стороны АС треугольника АВС пересекает его сторону ВС в точке D. Найдите периметр треугольника ABD, если AB = 10 см, ВС = 15 CM.
1. Чтобы доказать равенство треугольников АBM и CDM, мы можем использовать два критерия равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними, и по двум углам и стороне между ними.
Сначала посмотрим на стороны. Мы знаем, что АМ = СМ, что является одной из сторон. Также, мы можем заметить, что БМ = ДМ (поскольку это вершина треугольника, и углы при этой вершине равны). Так что по сторонам треугольников АBM и CDM совпадают.
Теперь посмотрим на угол. У нас есть информация, что <BAM = <ZDCM. Это значит, что угол между сторонами АМ и MB в треугольнике АBM равен углу между сторонами СМ и MD в треугольнике CDM.
Итак, поскольку мы доказали, что все стороны треугольников АBM и CDM совпадают и угол между сторонами также совпадает, мы можем заключить, что треугольники АBM и CDM равны.
2. Предположим, что основание равнобедренного треугольника равно "x" см, а боковая сторона равна "y" см.
Периметр равнобедренного треугольника составляет 49 см, поэтому у нас есть уравнение: x + y + y = 49.
Мы знаем, что основание на 7 см больше боковой стороны, так что можно записать уравнение: x = y + 7.
Подставим это значение в первое уравнение: y + 7 + y + y = 49.
Решим это уравнение: 3y + 7 = 49.
Вычтем 7 от обеих сторон: 3y = 42.
Разделим обе части на 3: y = 14.
Теперь, подставим это значение обратно в уравнение x = y + 7: x = 14 + 7 = 21.
Таким образом, основание равнобедренного треугольника составляет 21 см, а боковая сторона равна 14 см.
3. Чтобы доказать, что <ВАК = <ZBCM, мы можем использовать уже доказанное равенство треугольников АBM и CDM.
У нас есть информация, что ВМ = ВК. Поскольку АМ = СМ, мы можем заключить, что ВАМ = CМА.
Также, мы знаем, что угол при вершине B в треугольнике АВМ равен углу при вершине D в треугольнике CMD (поскольку они являются соответственными углами равных треугольников).
Таким образом, мы получаем, что треугольники АВМ и CMD равны по двум углам и стороне между ними, а значит, у них равны и все другие углы.
4. Для доказательства <МСP = <MDP, мы можем использовать информацию о том, что СК = DК и <СКР = <DКР.
Так как СК = DК, а треугольники СКР и DКР являются равнобедренными, то углы при основании (СК) этих треугольников также равны.
Итак, <СКР = <DКР.
Также, мы можем заметить, что треугольники СКР и MCP являются подобными, так как у них соответственно равны вершины С и M, а углы <СКР и <МСP являются соответственными углами при одной и той же вершине.
Поэтому, если треугольники СКР и MCP являются подобными и имеют равные углы, то можем сделать вывод, что <МСP = <MIK.
5. Чтобы найти периметр треугольника ABD, мы должны найти длины его сторон.
Сначала, у нас есть информация о стороне AB, которая равна 10 см.
Далее, нам дана информация о стороне ВС, которая равна 15 см.
Мы видим, что угол при вершине A является прямым углом (так как AD - перпендикуляр к BC), поэтому треугольник ABD является прямоугольным треугольником.
Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны BD.
Итак, BD^2 = AB^2 + AD^2.
Подставим известные значения: BD^2 = 10^2 + 15^2.
Выполним вычисления: BD^2 = 100 + 225.
Сложим эти значения: BD^2 = 325.
Чтобы найти длину стороны BD, возьмем квадратный корень из обеих сторон уравнения: BD = √325.
Прокомментируем, что √325 - это неполное значение корня, поэтому округляем его до ближайшего целого значения.
Теперь, чтобы найти периметр треугольника ABD, мы можем сложить длины его сторон.
Периметр треугольника ABD = AB + BD + AD = 10 см + √325 + 15 см.
Выполним вычисления:
Периметр треугольника ABD = 10 + √325 + 15 см.
Таким образом, периметр треугольника ABD равен 10 + √325 + 15 см.
Сначала посмотрим на стороны. Мы знаем, что АМ = СМ, что является одной из сторон. Также, мы можем заметить, что БМ = ДМ (поскольку это вершина треугольника, и углы при этой вершине равны). Так что по сторонам треугольников АBM и CDM совпадают.
Теперь посмотрим на угол. У нас есть информация, что <BAM = <ZDCM. Это значит, что угол между сторонами АМ и MB в треугольнике АBM равен углу между сторонами СМ и MD в треугольнике CDM.
Итак, поскольку мы доказали, что все стороны треугольников АBM и CDM совпадают и угол между сторонами также совпадает, мы можем заключить, что треугольники АBM и CDM равны.
2. Предположим, что основание равнобедренного треугольника равно "x" см, а боковая сторона равна "y" см.
Периметр равнобедренного треугольника составляет 49 см, поэтому у нас есть уравнение: x + y + y = 49.
Мы знаем, что основание на 7 см больше боковой стороны, так что можно записать уравнение: x = y + 7.
Подставим это значение в первое уравнение: y + 7 + y + y = 49.
Решим это уравнение: 3y + 7 = 49.
Вычтем 7 от обеих сторон: 3y = 42.
Разделим обе части на 3: y = 14.
Теперь, подставим это значение обратно в уравнение x = y + 7: x = 14 + 7 = 21.
Таким образом, основание равнобедренного треугольника составляет 21 см, а боковая сторона равна 14 см.
3. Чтобы доказать, что <ВАК = <ZBCM, мы можем использовать уже доказанное равенство треугольников АBM и CDM.
У нас есть информация, что ВМ = ВК. Поскольку АМ = СМ, мы можем заключить, что ВАМ = CМА.
Также, мы знаем, что угол при вершине B в треугольнике АВМ равен углу при вершине D в треугольнике CMD (поскольку они являются соответственными углами равных треугольников).
Таким образом, мы получаем, что треугольники АВМ и CMD равны по двум углам и стороне между ними, а значит, у них равны и все другие углы.
4. Для доказательства <МСP = <MDP, мы можем использовать информацию о том, что СК = DК и <СКР = <DКР.
Так как СК = DК, а треугольники СКР и DКР являются равнобедренными, то углы при основании (СК) этих треугольников также равны.
Итак, <СКР = <DКР.
Также, мы можем заметить, что треугольники СКР и MCP являются подобными, так как у них соответственно равны вершины С и M, а углы <СКР и <МСP являются соответственными углами при одной и той же вершине.
Поэтому, если треугольники СКР и MCP являются подобными и имеют равные углы, то можем сделать вывод, что <МСP = <MIK.
5. Чтобы найти периметр треугольника ABD, мы должны найти длины его сторон.
Сначала, у нас есть информация о стороне AB, которая равна 10 см.
Далее, нам дана информация о стороне ВС, которая равна 15 см.
Мы видим, что угол при вершине A является прямым углом (так как AD - перпендикуляр к BC), поэтому треугольник ABD является прямоугольным треугольником.
Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны BD.
Итак, BD^2 = AB^2 + AD^2.
Подставим известные значения: BD^2 = 10^2 + 15^2.
Выполним вычисления: BD^2 = 100 + 225.
Сложим эти значения: BD^2 = 325.
Чтобы найти длину стороны BD, возьмем квадратный корень из обеих сторон уравнения: BD = √325.
Прокомментируем, что √325 - это неполное значение корня, поэтому округляем его до ближайшего целого значения.
Теперь, чтобы найти периметр треугольника ABD, мы можем сложить длины его сторон.
Периметр треугольника ABD = AB + BD + AD = 10 см + √325 + 15 см.
Выполним вычисления:
Периметр треугольника ABD = 10 + √325 + 15 см.
Таким образом, периметр треугольника ABD равен 10 + √325 + 15 см.