1. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Диагональ AC разделяет его на два треугольника: ABC и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (AC-общая сторона, угол 1=углу 2 и угол 3=углу 4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC и CD, AD и BC соответственно). Поэтому AB=CD, AD= BC и угол B=углу D. Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем угол A=углу 1+угол 3=угол 2+угол 4=углу C. 2. Пусть О-точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD. Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам (AB=CD как противоположные стороны параллелограмма, угол 1= углу 2 и угол 3=углу 4 как накрест лежащие углы при пересечение параллельных прямых AB и CD секущими AC и BD соответсвенно). Поэтому AO=OC и OB=OD, что и требовалось доказать
Дан треугольник АВС, высота ВД=8 см, АД=15 см, ДС=6 см.
Сторона АС = 15 + 6 = 21 см.
Отсюда находим площадь треугольника.
S = (1/2)ah = (1/2)*21*8 = 84 см².
Теперь используем формулы радиуса.
Радиус r вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру.
Находим неизвестные стороны.
АВ = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17 см.
ВС = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см.
Полупериметр р = (17 + 10 + 21)/2 = 48/2 = 24 см.
Находим: r = S/p = 84/24 = 3,5 см.
Радиус R описанной окружности равен:
R = abc/(4S) = 17*10*21/(4*84) = 10,625 см.