Внутри тупого угла АВС проведены лучи ВК, ВМ и ВТ. Чему равна градусная мера угла КВТ, если известно, что угол АВМ прямой, ВК – биссектриса угла АВС, ВТ – биссектриса угла МВС.
Объяснение: Ортотреугольником называют треугольник, вершинами которого являются основания высот некоторого треугольника.
* * *
На рисунке точки К, М и Н - основания высот треугольника АВС. ⇒ ∆КМН - его ортотреугольник.
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. ⇒ АН=СН=4:2=2.
Прямоугольные ⊿ АКС=⊿ СМА по равному острому углу ( ∠А=∠С как углы при основании равнобедренного треугольника) и общей гипотенузе АС.
Медианы прямоугольных треугольников равны половине гипотенузы.. КН=МН=4:2=2. Следовательно, АН=КН, СН=МН, – ∆ АКН и ∆ СМН равнобедренные, при этом углы при их основаниях равны углам при основании ∆ АВС. Поэтому
∆ АКН и ∆СМН подобны ∆ АВС.
Из подобия следует НС:ВС=МС:АС ⇒ 2:5=МС:4, откуда МС=8/5=1,6
ВК=ВМ=ВС-СМ=5-1,6=3,4
∆ КВМ~∆ АВС ( оба равнобедренные с общим острым углом В) ⇒
a^2 + b^2 = c^2
Пусть a < b < c
Если они составляют геом. прогрессию, то их длины удовлетворяют равенствам:
b = a*q
c = a*q^2
Подставляем
a^2 + a^2*q^2 = a^2*q^4
Сокращаем на a^2
1 + q^2 = q^4
q^4 - q^2 - 1 = 0
Биквадратное уравнение
D = 1 + 4 = 5
q1^2 = (1 + V(5))/2
q2^2 = (1 - V(5))/2 < 0 - не подходит.
Получаем
а - любое, например а = 1
b = a*q = кв.корню из ((1 + V(5))/2)
c = a*q^2 = (1 + V(5))/2
Проверяем
a^2 + b^2 = c^2
1 + (1 + V(5))/2 = ((1 + V(5))/2)^2
(3 + V(5)) / 2 = (1 + 2V(5) + 5) / 4 = (6 + 2V(5)) / 4 = (3 + V(5)) / 2
Верно
ответ: знаменатель прогрессии q = кв.корню из ((1 + V(5))/2)
Меньший катет а может быть любым.Напишите в ответе здесь
ответ: 6,72
Объяснение: Ортотреугольником называют треугольник, вершинами которого являются основания высот некоторого треугольника.
* * *
На рисунке точки К, М и Н - основания высот треугольника АВС. ⇒ ∆КМН - его ортотреугольник.
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. ⇒ АН=СН=4:2=2.
Прямоугольные ⊿ АКС=⊿ СМА по равному острому углу ( ∠А=∠С как углы при основании равнобедренного треугольника) и общей гипотенузе АС.
Медианы прямоугольных треугольников равны половине гипотенузы.. КН=МН=4:2=2. Следовательно, АН=КН, СН=МН, – ∆ АКН и ∆ СМН равнобедренные, при этом углы при их основаниях равны углам при основании ∆ АВС. Поэтому
∆ АКН и ∆СМН подобны ∆ АВС.
Из подобия следует НС:ВС=МС:АС ⇒ 2:5=МС:4, откуда МС=8/5=1,6
ВК=ВМ=ВС-СМ=5-1,6=3,4
∆ КВМ~∆ АВС ( оба равнобедренные с общим острым углом В) ⇒
ВК:АВ=КМ:АС ⇒ КМ=3,4•4:5=2,72
Р(КМН)=КМ+КН+МН=2,72+2+2=6,72 ( ед. длины)