a) Высказывание a) неверное. Через любые три точки нельзя провести прямую. Например, представим себе, что три точки образуют треугольник. В этом случае нельзя провести прямую, проходящую через три его вершины.
b) Высказывание b) неверное. Если при пересечении двух прямых секущей сумма двух соответственных углов равна 160°, это не означает, что каждый из этих углов равен 80°. Сумма углов, образуемых в результате пересечения двух прямых, всегда равна 180°.
c) Высказывание c) верное. В равнобедренном треугольнике две стороны равны между собой, поэтому периметр равен сумме длин этих сторон плюс длина третьей стороны. В данном случае периметр равен 7,5 + 7,5 + 16 = 31 см.
a) Высказывание a) неверное. Угол, смежный с тупым углом, является прямым, а не тупым.
b) Высказывание b) верное. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Это следует из определения параллельных прямых - они никогда не пересекаются.
c) Высказывание c) неверное. В треугольнике с углами 40°, 70° и 70° только один угол равнобедренный.
a) Высказывание a) неверное. Медиана любого треугольника делит сторону, к которой она проведена, пополам, но она не обязательно перпендикулярна этой стороне.
b) Высказывание b) верное. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен углу между боковыми сторонами, а значит, если угол при вершине равен 40°, то угол при основании будет равен 180° - 40° - 40° = 100°.
c) Высказывание c) верное. Любой треугольник имеет один тупой угол и два острых угла, или три острых угла.
a) Высказывание a) неверное. Внешние углы при основании равнобедренного треугольника являются тупыми, а не острыми.
b) Высказывание b) верное. Если две прямые пересекаются секущей, то накрест лежащие углы равны. Это следует из свойств параллельных линий и их пересечений.
c) Высказывание c) верное. Медианы треугольника пересекаются точно в одной точке, называемой центром тяжести треугольника.
a) Высказывание a) верное. Неразвернутый угол всегда меньше 180°.
b) Высказывание b) верное. Если сторона и сумма двух углов одного треугольника соответственно равны стороне и сумме двух углов другого треугольника, то такие треугольники равны. Это называется критерием равенства треугольников по трем элементам.
c) Высказывание c) неверное. Высота треугольника всегда лежит внутри треугольника.
a) Высказывание a) неверное. Если две прямые пересеклись, то образовалось четыре угла, и среди них могут быть и острые, и тупые углы.
b) Высказывание b) верное. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная из вершины при основании, является одновременно его медианой (делит основание на две равные части) и биссектрисой (делит угол при вершине на два равных угла).
c) Высказывание c) неверное. Треугольник с сторонами 2см, 3 см и 4 см не существует, так как сумма двух меньших сторон должна быть больше длины третьей стороны в случае неравенства треугольника.
a) Высказывание a) неверное. При пересечении двух прямых образуется четыре угла: два тупых и два острых угла.
b) Высказывание b) верное. Треугольник может иметь два тупых угла. Например, прямоугольный треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см имеет два прямых угла.
c) Высказывание c) верное. Любой треугольник существует при условии, что сумма двух его сторон всегда должна быть больше длины третьей стороны (неравенство треугольника). Приведенный пример треугольника со сторонами 2 см, 3 см и 4 см удовлетворяет этому условию.
В данном случае верны следующие утверждения:
- a)
- b)
- c)
- a)
- b)
- c)
- a)
- c)
- b)
- c)
- a)
- b)
- c)
- a)
- b)
- c)
- b)
- c)
- a)
- b)
- c)
Все высказывания b) и с) верны, а высказывание a) неверно.
Для доказательства того, что отрезки A1B1 и B1C1 являются средними линиями треугольника ABC, нам необходимо выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Выведем вспомогательные утверждения.
а) Докажем, что треугольники BAA1 и BСС1 подобны:
- Отрезки B1C1 и B1A1 параллельны сторонам BC и AB соответственно, поэтому угол ABB1 равен углу ACB по альтернирующим.
- Отсюда, углы BAA1 и BСС1 также равны.
- А также, отрезки B1C1 и B1A1 равны по условию AB1=В1С.
- Таким образом, треугольники BAA1 и BСС1 подобны по признаку (угол-сторона-угол).
b) Докажем, что треугольники BB1C и AA1B также подобны:
- Отрезки B1C1 и B1A1 параллельны сторонам BC и AB соответственно, следовательно, углы B1BC и ABA1 равны по альтернирующим.
- Также, имеем AB1=В1С по условию.
- Таким образом, треугольники BB1C и AA1B подобны по признаку (угол-сторона-угол).
Шаг 2: Используем подобные треугольники для получения требуемого доказательства.
- Рассмотрим треугольник ABC.
- Вспомним, что отрезок B1C1 является параллельной стороне BC и равен отрезку A1B1.
- Обратим внимание, что отрезок B1C1 является медианой треугольника BB1C (так как центральная линия треугольника идет до середины противоположной стороны).
- Из подобия треугольников BB1C и AA1B следует, что отрезок A1B1 является медианой треугольника AA1B.
- Таким образом, отрезки A1B1 и B1C1 являются медианами треугольника ABC.
Таким образом, мы доказали, что отрезки A1B1 и B1C1 являются средними линиями треугольника ABC, используя подобность треугольников и свойства медиан треугольника.
b) Высказывание b) неверное. Если при пересечении двух прямых секущей сумма двух соответственных углов равна 160°, это не означает, что каждый из этих углов равен 80°. Сумма углов, образуемых в результате пересечения двух прямых, всегда равна 180°.
c) Высказывание c) верное. В равнобедренном треугольнике две стороны равны между собой, поэтому периметр равен сумме длин этих сторон плюс длина третьей стороны. В данном случае периметр равен 7,5 + 7,5 + 16 = 31 см.
a) Высказывание a) неверное. Угол, смежный с тупым углом, является прямым, а не тупым.
b) Высказывание b) верное. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Это следует из определения параллельных прямых - они никогда не пересекаются.
c) Высказывание c) неверное. В треугольнике с углами 40°, 70° и 70° только один угол равнобедренный.
a) Высказывание a) неверное. Медиана любого треугольника делит сторону, к которой она проведена, пополам, но она не обязательно перпендикулярна этой стороне.
b) Высказывание b) верное. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен углу между боковыми сторонами, а значит, если угол при вершине равен 40°, то угол при основании будет равен 180° - 40° - 40° = 100°.
c) Высказывание c) верное. Любой треугольник имеет один тупой угол и два острых угла, или три острых угла.
a) Высказывание a) неверное. Внешние углы при основании равнобедренного треугольника являются тупыми, а не острыми.
b) Высказывание b) верное. Если две прямые пересекаются секущей, то накрест лежащие углы равны. Это следует из свойств параллельных линий и их пересечений.
c) Высказывание c) верное. Медианы треугольника пересекаются точно в одной точке, называемой центром тяжести треугольника.
a) Высказывание a) верное. Неразвернутый угол всегда меньше 180°.
b) Высказывание b) верное. Если сторона и сумма двух углов одного треугольника соответственно равны стороне и сумме двух углов другого треугольника, то такие треугольники равны. Это называется критерием равенства треугольников по трем элементам.
c) Высказывание c) неверное. Высота треугольника всегда лежит внутри треугольника.
a) Высказывание a) неверное. Если две прямые пересеклись, то образовалось четыре угла, и среди них могут быть и острые, и тупые углы.
b) Высказывание b) верное. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная из вершины при основании, является одновременно его медианой (делит основание на две равные части) и биссектрисой (делит угол при вершине на два равных угла).
c) Высказывание c) неверное. Треугольник с сторонами 2см, 3 см и 4 см не существует, так как сумма двух меньших сторон должна быть больше длины третьей стороны в случае неравенства треугольника.
a) Высказывание a) неверное. При пересечении двух прямых образуется четыре угла: два тупых и два острых угла.
b) Высказывание b) верное. Треугольник может иметь два тупых угла. Например, прямоугольный треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см имеет два прямых угла.
c) Высказывание c) верное. Любой треугольник существует при условии, что сумма двух его сторон всегда должна быть больше длины третьей стороны (неравенство треугольника). Приведенный пример треугольника со сторонами 2 см, 3 см и 4 см удовлетворяет этому условию.
В данном случае верны следующие утверждения:
- a)
- b)
- c)
- a)
- b)
- c)
- a)
- c)
- b)
- c)
- a)
- b)
- c)
- a)
- b)
- c)
- b)
- c)
- a)
- b)
- c)
Все высказывания b) и с) верны, а высказывание a) неверно.
Шаг 1: Выведем вспомогательные утверждения.
а) Докажем, что треугольники BAA1 и BСС1 подобны:
- Отрезки B1C1 и B1A1 параллельны сторонам BC и AB соответственно, поэтому угол ABB1 равен углу ACB по альтернирующим.
- Отсюда, углы BAA1 и BСС1 также равны.
- А также, отрезки B1C1 и B1A1 равны по условию AB1=В1С.
- Таким образом, треугольники BAA1 и BСС1 подобны по признаку (угол-сторона-угол).
b) Докажем, что треугольники BB1C и AA1B также подобны:
- Отрезки B1C1 и B1A1 параллельны сторонам BC и AB соответственно, следовательно, углы B1BC и ABA1 равны по альтернирующим.
- Также, имеем AB1=В1С по условию.
- Таким образом, треугольники BB1C и AA1B подобны по признаку (угол-сторона-угол).
Шаг 2: Используем подобные треугольники для получения требуемого доказательства.
- Рассмотрим треугольник ABC.
- Вспомним, что отрезок B1C1 является параллельной стороне BC и равен отрезку A1B1.
- Обратим внимание, что отрезок B1C1 является медианой треугольника BB1C (так как центральная линия треугольника идет до середины противоположной стороны).
- Из подобия треугольников BB1C и AA1B следует, что отрезок A1B1 является медианой треугольника AA1B.
- Таким образом, отрезки A1B1 и B1C1 являются медианами треугольника ABC.
Таким образом, мы доказали, что отрезки A1B1 и B1C1 являются средними линиями треугольника ABC, используя подобность треугольников и свойства медиан треугольника.