Восновании пирамиды nabcd лежит прямоугольник abcd. боковое ребро nd перпендикулярно основанию. плоскость, проходящая через вершину b и середины ребер na и nc, пересекает ребро nd в точке l. найдите bl, площадь сечения и угол между плоскостью сечения и плоскостью основания, если ad =2, ab=4, dn=6.

Показать ответ

Ответ:

Домiнiка

09.06.2020 00:27

В сечении получаем четырёхугольник BKLM.

Точки K и M на основании задания расположены на расстоянии 6/2 = 3 ед. от плоскости основания.

Поэтому отрезок KM параллелен основанию.

Точка Р пересечения отрезков KM и BL, лежащих в плоскости сечения, тоже находится на расстоянии 3 ед. от основания.

Проекция отрезка BL на основание - это диагональ BD прямоугольника основания. Треугольники BPF и BLD подобны. Отрезок BF по построению равен (3/4)BD.

Отсюда находим длину отрезка LD.

LD = PF/(3/4) = 3/(3/4) =4 ед.

Получаем первый ответ: BL = √(2² + 4² + 4²) = √36 = 6 ед.

Проведём прямую ВН параллельно KM - это линия пересечения секущей плоскости и плоскости основания пирамиды. Продлим сторону AD до пересечения с ВН.

По свойству полученного параллелограмма ВСАН отрезок АН = ВС = 3 ед. Длина ТН = (2/2) + 3 = 4 ед.

Угол Н равен углу ВСА.

Его синус равен 4/√(2² + 4²) = 4/√20 = 4/(2√5) = 2/√5.

Отсюда находим: TR = TH*sin H = 3* (2/√5) = 6/√5.

Двугранный угол между секущей плоскостью и основанием равен плоскому углу, полученному при пересечении двух плоскостей третьей, проведенной перпендикулярно их линии пересечения. Это угол MRT.

Получаем второй ответ:

∠MRT = arctg MT/TR = arc tg(3/(6√5) arctg (√5/2) =

= arc tg 1,118034 = 0,841 радиан или 48,19 градуса.

Находим длину наклонной MR = √(MT² + TR²) = √(9 + (36/5)) = 9/√5.

Отсюда косинус угла MRT равен:

cos (MRT) = cos φ = TR/MR = (6/√5)/(9/√5) = 2/3.

Теперь определяем площадь проекции сечения на основание как площадь основания минус площади двух треугольников.

So = 2*4 - (1/2)*1*4 - (1/2)*2*2 = 8 - 2 - 2 = 4.

Получаем третий ответ: Sсеч = So/cos φ = 4/(2/3) = 6 кв.ед.