Впараллелограмме со сторонами 10 см и 20 см и одним из углов, равным 30°, проведены биссектрисы всех четырёх углов. найти площадь четырёхугольника, ограниченного биссектрисами.

Пусть биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке M (см. рисунок 1)
 <BAD = 30⁰, AB = 10см, BC = 20 см.
Тогда < BMA = < MAD = < MAB = 15⁰.Значит, треугольник ABM — равнобедренный и BM = AB = 10 см, поэтому MC = 20-10=10 см.

Проведем биссектрисы BQ и DP тупых углов параллелограмма. Треугольник PCD - равнобедренный :<CDP=<ADP=<CPD
PC=CD=10 см, ВР=20-10=10.
Точка М- середина стороны ВС ( см. рисунок 1), но и точка Р- середина стороны ВС( см. рисунок 2), значит точки М и Р совпадают ( см. рисунок 3), точки N и Q совпадают.
Четырехугольник LMTN - прямоугольник, так как из треугольника АLB найдём угол <ALB=180⁰-15⁰-75⁰=90⁰, а смежный с ним <MNL=90⁰.
Аналогично находим и другие углы четырехугольника.

Прямоугольные треугольники  ALB, АLN и BLM равны по гипотенузе 10 см и двум равным острым углам.
Из треугольника ВML находим ML=10·cos15⁰
Из треугольника АLN находим LТ=10·sin15⁰

Площадь прямоугольника LMTN равна произведению сторон
S=ML·LT=10·cos15⁰ ·10· sin 15⁰ = 50 ·sin30⁰ = 25 ( кв. см)