Впишите правильный ответ.
В результате поворота на 90° против часовой стрелки около начала координат треугольник ABC отобразился на треугольник A1B1C1. Найти координаты точек A1, B1, C1, если известно, что А (3; 2), В (0; 5), С (5; 6).
ответ: A1 ( ; ), B1 ( ; ), C1 ( ; ).
Исследовать функцию y=f(x) по графику
1. Область определения функции
D (f) = [-4; 2]
2. Множество значений функции
E (f) = [-3; 2,5]
3. Нули функции
x₁ = -3; x₂ = -1; x₃ = 1
4. Пересечение с осью Oy - точка (0; 2,5)
5. Точки экстремумов
x = -2 - точка локального минимума функции
x = 0 - точка максимума функции
6. Экстремумы функции
y = -2 - локальный минимум функции
y = 2,5 - максимум функции
7. Промежутки монотонности функции
Функция убывает на промежутках [-4; -2] и [0; 2]
Функция возрастает на промежутке x∈[-2; 0]
8. Промежутки знакопостоянства функции
y > 0 при x ∈ [-4; -3) ∪ (-1; 1)
y < 0 при x ∈ (-3; -1) ∪ (1; 2]
9. Наименьшее значение функции y=-3 при x=2
Наибольшее значение функции в точке максимума
y = 2,5 при x = 0
10. Функция не периодическая.
11. Функция общего вида ( не является ни чётной, ни нечётной).
Прежде, чем начать, я выражаю благодарность Hrisula за предоставленный отличный рисунок к задаче.
1) Сразу надо понять, что AB II MN. Причем - еще до того, как используется, что MN - касательная к окружности (ABK) (я буду обозначать окружности в тексте тремя точками в скобках).
В самом деле, в точке K у окружностей есть общая касательная. Пусть это прямая KP, где Р - точка пересечения касательных MN и KP (то есть P лежит на продолжении MN)
∠NKP = ∠NMK; (оба измеряются половиной дуги KN окружности (MNK))
∠BAK = ∠BKP; ( оба измеряются половиной дуги BK окружности (ABK));
то есть ∠NMK = ∠BAK; что означает AB II MN.
2) Из этого следует подобие треугольников ABK и MNK. Но поскольку радиус описанной окружности у треугольника ABK в 2 раза меньше, то и стороны в 2 раза меньше, что означает, что AB - средняя линия треугольника MNK. Но это еще не всё :) - это еще и означает, что CK делится прямой AB пополам, то есть CL = LK;
(Любой, кто знаком с гомотетией, эти два пункта может доказать моментально - тут просто гомотетия с центром в точке K и коэффициентом 2. Отсюда и параллельность, и средняя линия.)
3) Теперь самое время вспомнить, что MN - касательная.
Обе касательные СP и KP к окружности (ABK) образуют одинаковые углы с хордой CK.
То есть ∠NCK = ∠PKC;
но ∠PKC = ∠NKP + ∠NKC;
∠PCK = ∠NMK +∠CKM;
если еще раз вспомнить, что ∠NKP = ∠NMK;
то ∠NKC = ∠CKM;
получилось, что CK = биссектриса угла AKB;
это означает, что AK/BK = AL/BL = 3/2; (разумеется, в подобном треугольнику ABK треугольнике MNK тоже такое же соотношение сторон)
4) Теперь надо "сложить" полученные условия для вписанного четырехугольника ACBK - что AL/BL = 3/2 = AK/BK; и CL = KL. Также AC = CВ, но это не понадобится (хотя в принципе и это можно было бы использовать). Главная задача - найти угол AKB. Полученных связей должно хватить.
Для краткости и понятности формул я теперь обозначу
γ = ∠AKB; a = BK; b = AK; l = KL = CL;
Пара треугольников KLB и AKC; имеет равные углы, так как KL - биссектриса угла AKB; и ∠ABK = ∠ACK; так как это вписанные углы, опирающиеся на дугу AK;
Поэтому KL/KB = KA/CK;
или 2*l^2 = ab;
Учитывая, что b = a*3/2; получается l = a*√3/2; (синус 60° тут возник случайно).
Если записать площадь треугольника ABK, как
ab*sin(γ)/2 = al*sin(γ/2)/2 + bl*sin(γ/2)/2; то
l = 2ab*cos(γ/2)/(a + b);
или, если подставить ранее найденные соотношения b = a*3/2; l = a*√3/2
a*√3/2 = 2a*(3a/2)*cos(γ/2)/(a + 3*a/2);
после сокращений получается значение косинуса половины угла AKB, откуда можно найти синус всего угла.
cos(γ/2) = 5√3/12; sin(γ/2) = √69/12; sin(γ) = 5√23/24;
(угол получился близким к прямому, но все-таки меньше :) примерно 87,6°)
5) Теперь, когда известен синус угла MKN; остается только применить теорему синусов. Радиус окружности (MKN) равен 2√23; поэтому
MN = 2*(2√23)*(5√23/24) = 5*23/6 = 115/6 = 19,1(6);
ну вот как-то так. Проверяйте...
(Между прочим, диаметр большей окружности 4√23 примерно равен 19,1833261)