Впрямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известны длины ребер: ab = 9, ad = 3, aa1 = √10. найдите площадь сечения, проходящего через вершины b, d и d1.
а) Длина L бокового ребра пирамиды равна: L = H/sinα = 6/(√2/2) = 6√2 см.
б) Площадь боковой поверхности. Так как боковое ребро образует угол 45 градусов с плоскостью основания, то половина диагонали основания равна высоте пирамиды: (d/2) = H = 6 см. Сторона а основания (это квадрат) равна: а = 2*(d/2)*sin45° = 2*6*(√2/2) = 6√2 см. Периметр основания Р = 4а = 24√2 см. Апофема А = √(Н² + (а/2)²) = √(36 + 18) = √54 = 3√6 см. Sбок = (1/2)РА = (1/2)*24√2*3√6 = 72√3 см².
в) Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)a²H = (1/3)*72*6 = 144 см³.
В основании правильной четырехугольной пирамидыSABCD лежит правильный четырехугольник - квадрат ABCD, высота (SO=H) пирамиды опущена в точку пересечения диагоналей квадрата. Боковые ребра правильной пирамиды равны. В прямоугольном треугольнике SOC: ∠SOC = 90° ∠SCO = 45° ∠OSC = 180 - 90 - 45 = 45 (°) ⇒ треугольник SOC - прямоугольный равнобедренный с основанием - гипотенузой и боковыми сторонами - равными катетами. SO = CO = 6 (cм) По теореме Пифагора: SC² = SO² + CO² SC² = 6² + 6² SC² = 72 SC = 6√2 (см) Длина бокового ребра 6√2 см
CO = 1/2 * d, где d - диагональ квадрата ABCD ⇒ d = CO * 2 d = 6 * 2 = 12 (см) Площадь квадрата ABCD Sосн = 1/2 * d² Sосн = 1/2 * 12² = 144 / 2 = 72 (cм²) Сторона квадрата AB = √Sосн AB = √72 = 6√2 (cм) AB = BC = CD = AD = 6√2 (cм) ⇒ сторона основания пирамиды равна боковому ребру пирамиды ⇒ боковыми гранями пирамиды являются равные равносторонние треугольники со стороной 6√2 см
Треугольник SOC и треугольник DOC равны по двум сторонам и углу между ними: SO = ОD = ОС, т.к. диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам ∠SOC = ∠DOC = 90° т.к. диагонали квадрата песекаются под прямым углом ⇒ SC = CD = 6√2 cм ⇒ Треугольник SCD - равносторонний со стороной 6√2 см ⇒ Площадь боковой поверхности пирамиды равна Sбок = 4 * S(SCD) S(SCD) = a² * √3 / 4, где а - сторона правильного треугольника S(SCD) = (6√2)² * √3 / 4 = 36 * 2 * √3 / 4 = 18√3 (cм²) Sбок = 4 * 18√3 = 72√3 (см²)
L = H/sinα = 6/(√2/2) = 6√2 см.
б) Площадь боковой поверхности.
Так как боковое ребро образует угол 45 градусов с плоскостью основания, то половина диагонали основания равна высоте пирамиды:
(d/2) = H = 6 см.
Сторона а основания (это квадрат) равна:
а = 2*(d/2)*sin45° = 2*6*(√2/2) = 6√2 см.
Периметр основания Р = 4а = 24√2 см.
Апофема А = √(Н² + (а/2)²) = √(36 + 18) = √54 = 3√6 см.
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*24√2*3√6 = 72√3 см².
в) Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)a²H = (1/3)*72*6 = 144 см³.
В прямоугольном треугольнике SOC:
∠SOC = 90°
∠SCO = 45°
∠OSC = 180 - 90 - 45 = 45 (°)
⇒ треугольник SOC - прямоугольный равнобедренный с основанием - гипотенузой и боковыми сторонами - равными катетами.
SO = CO = 6 (cм)
По теореме Пифагора:
SC² = SO² + CO²
SC² = 6² + 6²
SC² = 72
SC = 6√2 (см)
Длина бокового ребра 6√2 см
CO = 1/2 * d, где d - диагональ квадрата ABCD
⇒ d = CO * 2
d = 6 * 2 = 12 (см)
Площадь квадрата ABCD
Sосн = 1/2 * d²
Sосн = 1/2 * 12² = 144 / 2 = 72 (cм²)
Сторона квадрата
AB = √Sосн
AB = √72 = 6√2 (cм)
AB = BC = CD = AD = 6√2 (cм) ⇒ сторона основания пирамиды равна боковому ребру пирамиды ⇒ боковыми гранями пирамиды являются равные равносторонние треугольники со стороной 6√2 см
Треугольник SOC и треугольник DOC равны по двум сторонам и углу между ними:
SO = ОD = ОС, т.к. диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам
∠SOC = ∠DOC = 90° т.к. диагонали квадрата песекаются под прямым углом
⇒ SC = CD = 6√2 cм
⇒ Треугольник SCD - равносторонний со стороной 6√2 см
⇒ Площадь боковой поверхности пирамиды равна
Sбок = 4 * S(SCD)
S(SCD) = a² * √3 / 4, где а - сторона правильного треугольника
S(SCD) = (6√2)² * √3 / 4 = 36 * 2 * √3 / 4 = 18√3 (cм²)
Sбок = 4 * 18√3 = 72√3 (см²)
Объем пирамиды:
V = 1/3 * Sосн * H
V = 1/3 * 72 * 6 = 144 (cм³)