Впрямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. найдите периметр треугольника, если радиус равен 2 см.

Дано:

ABCD – прямоугольник;

АL – биссектриса угла BAD;

ВL=3 см;

LC=4 см.

Найти:

Р(ABCD)

Так как противоположные стороны прямоугольника паралельны, то AD//BC.

Следовательно угол ALB=угол DAL как накрест-лежащие при параллельных прямых AD u BC и секущей AL.

Угол BAL=угол DAL, так как AL – биссектриса угла BAD.

Исходя из найденного: угол ALB=угол BAL.

Тогда ∆ABL – равнобедренный с основанием AL. Следовательно АВ=BL=3 см.

Периметр прямоугольника можно найти по формуле:

Р=2*(а+б), где а и б – смежные стороны.

Тогда Р(АВСD)=2*(AB+BC)=2*(AB+BL+LC)=2*(3+3+4)=2*10=20 см.

ответ: 20 см.

Три стороны одинаковые, AB = BC = CD.
Четвертая сторона равна обоим диагоналям, AD = AC = BD.
Вот я примерно нарисовал этот 4-угольник.
Треугольник ABC равнобедренный с углами y (гамма).
Треугольник BCD равнобедренный с углами b (бета).
Треугольник ABD равнобедренный с углами a+y (a - альфа).
Треугольник ACD равнобедренный с углами a+b.
Получаем систему
{ a + (a + y) + (a + y) = 3a + 2y = 180 (ABD)
{ a + (a + b) + (a + b) = 3a + 2b = 180 (ACD)
{ (y + (a+b)) + b + b = a + y + 3b = 180 (BCD)
{ ((a+y) + b) + y + y = a + b + 3y = 180 (ABC)
Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение
2y - 2b = 0
b = y
Подставляем
{ 3a + 2b = 180
{ a + 4b = 180
Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение
2a - 2b = 0
a = b
То есть все три угла равны друг другу
a = b = y
3a + 2a = 5a = 180
a = b = y = 180/5 = 36 градусов.
Самый большой угол
y + (a+b) = 3a = 3*36 = 108 градусов.