Втрапеции проведены диагонали. площади двух треугольников, прилежащих к основаниям трапеции, равны 4 и 9. найдите площадь трапеции

Показать ответ

Ответ:

mangleplaydj1

23.06.2020 21:15

Трапеция АВСД разбивается диагоналями АС и ВД на 4 треугольника.
Точку пересечения диагоналей обозначим через О.
Треугольники АВО и СДО имеют равные площади   $S_{ABO}=S_{CDO}$ .
Треугольники ВОС и АОД подобны по двум углам (<AOD=<BOC , <CBO=<ADO)
В подобных треугольниках  линейные отрезки относятся как корни из площадей,
поэтому
$\frac{BC}{AD}=\frac{CO}{AO}=\frac{BO}{DO}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$
Рассм. треугольники ВОС и ДОС .Проведём в них общую высоту из вершины С на сторону ВО (ДО).Обозначим её h.Тогда
$S_{BOC}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot BO\; ,\; S_{COD}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot DO\\\\\frac{S_{BOC}}{S_{COD}}=\frac{BO}{DO}\\\\no\; \; \frac{BO}{DO}=\frac{2}{3}\; \; \to \; \; \frac{S_{BOC}}{S_{COD}}=\frac{2}{3}\; \; \to \; \; S_{COD}=S_{BOC}:\frac{2}{3}=4:\frac{2}{3}=\frac{4\cdot 3}{2}=6\\\\S_{ABCD}=S_{BOC}+S_{AOD}+S_{AOB}+S_{COD}=\\=4+9+2\cdot S_{COD}=4+9+12=25$
Замечание. Докажем, что

$S_{AOB}=S_{COD}\\S_{AOB}=S_{ABD}-S_{AOD}$
$S_{COD}=S_{ADC}-S_{AOD}$
Но площади треугольников АВД и АДС равны, так как у нич основание АД одно и то же и высоты их равны высоте трапеции.Отсюда следует равенство площадей треугольниковАОB и СОД: $S_{AOB}=S_{COD}$