Втреугольнике `abc`  известно, что  `/_bac=75, `/_abc=15`, `ab=8`.  найдите высоту `ch`  треугольника.
указание. проведите медиану `cm`  этого треугольника.

1. Если принять значение первого угла за одну часть общего угла, соответственно второй угол будет равен четырем частям (из условия задачи), следовательно 4-1=3, а по условию задачи, их разница равна 108. Теперь делим 108 на 3, получаем, что одна часть общего угла равна 36 градусам, следовательно первый угол будет равен 36 градусам (1*36), а второй 144 градуса (4*36). В сумме, они дают 180 градусов, из чего можно сделать вывод, что прямые, которые пересекает прямая, образующая эти углы, параллельны между собой.

2.  Углы АВС и ВСД равны, так как они накрест лежащие. Отсюда делаем вывод, что треугольники АВС и ВСД равны по двум сторонам (АВ=СД и СВ - общая) и углу между ними.

7.(2б)

Найти угол между стороной AB и медианой BB₁ треугольника ABC :

A(3; 5; 0) , B(0 ; - 6; 0)  , C(3 ;1 ;0) .     AB₁=CB₁ = AC/2  =  2

∠ABB₁  -?

- - - - - - - - - - --

B₁ (3 ; 3; 0) _середина стороны AC    * * * (3+3) /2 ; (5+1)/2 ; (0+0)/2 * * *

BA { 3 ; 11 ; 0 }              * * * 3 -0 ; 5 -(-6) ; 0 -0 * * *

BB₁ { 3 ;  9 ; 0 }              * * * 3 -0 ; 3 -(-6) ; 0 -0  * * *

cos(∠(BA, BB₁) )  = BA*BB₁ / |BA|*|BB₁|  =

(3*3+11*9 +0*0)/√(3²+11²+0²)*√(3²+9²+0²) =108/√130*√90 =

108/ 30 √13 =3,6 / √13 .            

* * *  !  3,6 /√13 =(√3,6²) /√13 =√12,96 /√13  < 1   * * *  

     ∠(BA, BB₁) =arccos(3,6 /√13  )    

BA*BB₁ - скалярное произведение векторов  BA и BB₁

|BA| и |BB₁|  -  модули  векторов  BA и BB₁

- - - - - - - -

8.(2б)

B(2 ; - 1; - 1)  , A(2 ; 2 ; - 4) , C(3 ; - 1 ; -2) ,

BA { 0 ; 3 ; -3}  ;  BC { 1 ; 0 ; - 1}

cos(∠(BA, BC) )  = BA*BB / |BA|*|BC|  

BA*BC - скалярное произведение векторов  BA и BC

|BA| и |BC|  -  модули  векторов  BA и BC

* * * ∠(BA, BC) =  ∠B * * *

cos∠B = cos(∠(BA, BC) )= (0*1+3*0 + (-3)*(-1) )/√(0²+3²+(-3)² )*√(1²+0²+(-1)²) =

3/√18*√2  = 3/6 =1/2   ⇒    ∠B =60 °

Внешний  угол при вершине B будет  180° - ∠B = 180° - 60 ° = 120°

- - - - - - - -

9.(2б)  Центр сферы A(4 ; -4 ; 2) ,  O(0 ; 0 ;0) ∈ поверхности сферы

* * *(x - x₀)²+(y - y₀)²+ (z - z₀)² = R²  уравнение сферы радиусом R , центр которой в точке  A( x₀; y₀ ; z₀)  * * *

(x - 4)²+(y +4)²+ (z -2)² = R²    Нужно найти  R

Т.к. O(0 ; 0 ;0)  ∈ поверхности сферы ,то

(0 - 4)²+(0 +4)²+ (0 -2)² = R² ⇔  R² =36      

следовательно

(x - 4)²+(y +4)²+ (z -2)² =  36                * * * R² =6² * * *