Вусеченый конус вписана усеченая правильная четырехугольная пирамида. радиусы основпний усеченного конуса равны 2 см и 5 см, а высота равно 4 см. вычислите площадь полной поверхности пирамиды
Чтобы найти площадь полной поверхности усеченной правильной четырехугольной пирамиды, мы должны сначала найти площадь основания и боковую поверхность.
1. Площадь основания:
Поскольку усеченный конус вписан в пирамиду, основания пирамиды являются основаниями конуса. У нас есть два основания с различными радиусами - 2 см и 5 см. Площадь основания можно найти по формуле площади круга: S = π * r^2.
Площадь первого основания (с радиусом 2 см):
S1 = π * (2 см)^2 = 4π см^2
Площадь второго основания (с радиусом 5 см):
S2 = π * (5 см)^2 = 25π см^2
2. Боковая поверхность:
Боковая поверхность пирамиды состоит из трех боковых поверхностей конуса и четырех боковых поверхностей усеченного конуса.
- Площадь боковой поверхности каждого конуса можно найти по формуле S = π * r * l, где r - радиус конуса, l - образующая конуса.
Боковая поверхность первого конуса (с радиусом 2 см и высотой 4 см):
S3 = π * 2 см * l
Для вычисления образующей, нужно использовать теорему Пифагора:
l^2 = (h^2) + (r2 - r1)^2
где h - высота конуса, r1 - радиус меньшего основания конуса, r2 - радиус большего основания конуса.
В нашем случае:
h = 4 см
r1 = 2 см
r2 = 5 см
Теперь подставим значения в формулу:
l^2 = (4 см)^2 + (5 см - 2 см)^2
l^2 = 16 см^2 + 9 см^2
l^2 = 25 см^2
l = 5 см (так как длина не может быть отрицательной)
Теперь, когда у нас есть значение l, мы можем найти площадь боковой поверхности первого конуса:
S3 = π * 2 см * 5 см = 10π см^2
Боковая поверхность второго конуса (с радиусом 5 см и высотой 4 см):
S4 = π * 5 см * l
l уже вычислено ранее и равно 5 см, поэтому:
S4 = π * 5 см * 5 см = 25π см^2
Боковая поверхность усеченного конуса (расстояние между двумя основаниями 5 см - 2 см = 3 см):
S5 = π * (2 см + 5 см) * 3 см = 21π см^2
Теперь найдем полную площадь боковой поверхности пирамиды, складывая все площади боковых поверхностей:
Sбок = S3 + S4 + S5 = 10π см^2 + 25π см^2 + 21π см^2 = 56π см^2
3. Площадь полной поверхности пирамиды:
Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площадей обоих оснований и боковой поверхности.
1. Площадь основания:
Поскольку усеченный конус вписан в пирамиду, основания пирамиды являются основаниями конуса. У нас есть два основания с различными радиусами - 2 см и 5 см. Площадь основания можно найти по формуле площади круга: S = π * r^2.
Площадь первого основания (с радиусом 2 см):
S1 = π * (2 см)^2 = 4π см^2
Площадь второго основания (с радиусом 5 см):
S2 = π * (5 см)^2 = 25π см^2
2. Боковая поверхность:
Боковая поверхность пирамиды состоит из трех боковых поверхностей конуса и четырех боковых поверхностей усеченного конуса.
- Площадь боковой поверхности каждого конуса можно найти по формуле S = π * r * l, где r - радиус конуса, l - образующая конуса.
Боковая поверхность первого конуса (с радиусом 2 см и высотой 4 см):
S3 = π * 2 см * l
Для вычисления образующей, нужно использовать теорему Пифагора:
l^2 = (h^2) + (r2 - r1)^2
где h - высота конуса, r1 - радиус меньшего основания конуса, r2 - радиус большего основания конуса.
В нашем случае:
h = 4 см
r1 = 2 см
r2 = 5 см
Теперь подставим значения в формулу:
l^2 = (4 см)^2 + (5 см - 2 см)^2
l^2 = 16 см^2 + 9 см^2
l^2 = 25 см^2
l = 5 см (так как длина не может быть отрицательной)
Теперь, когда у нас есть значение l, мы можем найти площадь боковой поверхности первого конуса:
S3 = π * 2 см * 5 см = 10π см^2
Боковая поверхность второго конуса (с радиусом 5 см и высотой 4 см):
S4 = π * 5 см * l
l уже вычислено ранее и равно 5 см, поэтому:
S4 = π * 5 см * 5 см = 25π см^2
Боковая поверхность усеченного конуса (расстояние между двумя основаниями 5 см - 2 см = 3 см):
S5 = π * (2 см + 5 см) * 3 см = 21π см^2
Теперь найдем полную площадь боковой поверхности пирамиды, складывая все площади боковых поверхностей:
Sбок = S3 + S4 + S5 = 10π см^2 + 25π см^2 + 21π см^2 = 56π см^2
3. Площадь полной поверхности пирамиды:
Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площадей обоих оснований и боковой поверхности.
Sполная = S1 + S2 + Sбок
Sполная = 4π см^2 + 25π см^2 + 56π см^2
Sполная = 85π см^2
Таким образом, площадь полной поверхности усеченной правильной четырехугольной пирамиды составляет 85π квадратных сантиметров.