Ввыпуклом четырёхугольнике npqm диагональ nq является - вопрос №2732200 от Takyshika 26.04.2020 03:11

Question

Геометрия: Ввыпуклом четырёхугольнике npqm диагональ nq является биссектрисой угла pnm и пересекается с диагональю pm в точке s . найдите ns , если известно, что около четырёхугольника npqm можно описать окружность, pq=44 , sq=22 .

Takyshika · Answer

Рассмотрим треугольник PNM

.
Так как сторона

- общая , то PNS=NSM

.
Тогда

, так как

биссектриса.
По свойству хорд получаем 22*NS=PS*MS

$22*NS=MS^2\\$
Воспользуемся теоремой Птолемея , получим
(PS+22)(2MS)=MQ*PN+NM*44

так как треугольники PNQ;MNQ

равны, то $MQ=PN\\\\ (PS+22)*2MS=88NM\\ 22NS=MS^2\\ NP=NM\\$
откуда получаем
$(PS+MS)(22+\frac{PS*MS}{22})=88*\frac{(PS+MS)MS}{PS} \\ PS*MS=1936-484=1452\\ NS=\frac{1452}{22}=66$