1. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Дано: ω (О; ОА), СА и СВ - касательные (А и В - точки касания). Доказать: СА = СВ, ∠АСО = ∠ВСО. Доказательство: Проведем радиусы в точки касания. Они перпендикулярны касательным (по свойству касательной). ∠САО = ∠СВО = 90°, ОА = ОВ как радиусы, ОС - общая гипотенуза для треугольников САО и СВО, ⇒ ΔСАО = ΔСВО по катету и гипотенузе. Следовательно, СА = СВ и ∠АСО = ∠ВСО. Доказано.
2. Теорема: если прямая перпендикулярна радиусу и проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, то она является касательной к окружности.
Дано: ω (О; ОА), прямая а, а⊥ОА, А∈а. Доказать: а - касательная к окружности. Доказательство: Радиус перпендикулярен прямой а. Перпендикуляр - это кратчайшее расстояние от центра окружности до прямой. Значит, расстояние от центра до любой другой точки прямой будет больше, чем до точки А, и значит все остальные точки прямой лежат вне окружности. Итак, прямая а и окружность имеют только одну общую точку А. Значит, прямая а - касательная к окружности.
3. Соединяем данную точку А с центром окружности. Проводим перпендикуляр к полученному радиусу, проходящий через данную точку. Для этого на луче ОА откладываем отрезок АВ = ОА. Строим две окружности равного радиуса (произвольного, но больше половины отрезка ОВ) с центрами в точках О и В. Через точки пересечения окружностей проводим прямую а. Это и есть прямая, перпендикулярная радиусу ОА. Прямая а - касательная к окружности.
1) Основание остроугольного равнобедренного треугольника равна 30 см, а высота, опущенная на боковую сторону, = 24см. Найти периметр треугольника. 2) Сторона ромба равна 25 см, а его высота- 24 см. Найти диагонали ромба.
1). НС=√(30²-24²)=18см. (по Пифагору). АВ²-ВН²=АН² (по Пифагору). Или 24²=(18+х)²-х². => х=7см. АВ=ВС=18+7=25см. Периметр равен 25+25+30=80см.
2). Площадь ромба равна Sabcd= ВН*AD = 24*25=600см². АН=√(25²-24²)=7см. (по Пифагору). НD=25-7=18см. BD= √(24²+18²)=30см. (по Пифагору). Sabcd=(1/2)*D*d=600см² (найдена ранее) => AC=1200/30=40см. ответ: диагонали ромба равны 40см и 30см.
Дано: ω (О; ОА), СА и СВ - касательные (А и В - точки касания).
Доказать: СА = СВ, ∠АСО = ∠ВСО.
Доказательство:
Проведем радиусы в точки касания. Они перпендикулярны касательным (по свойству касательной).
∠САО = ∠СВО = 90°,
ОА = ОВ как радиусы,
ОС - общая гипотенуза для треугольников САО и СВО, ⇒
ΔСАО = ΔСВО по катету и гипотенузе.
Следовательно, СА = СВ и ∠АСО = ∠ВСО.
Доказано.
2. Теорема: если прямая перпендикулярна радиусу и проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, то она является касательной к окружности.
Дано: ω (О; ОА), прямая а, а⊥ОА, А∈а.
Доказать: а - касательная к окружности.
Доказательство:
Радиус перпендикулярен прямой а. Перпендикуляр - это кратчайшее расстояние от центра окружности до прямой. Значит, расстояние от центра до любой другой точки прямой будет больше, чем до точки А, и значит все остальные точки прямой лежат вне окружности.
Итак, прямая а и окружность имеют только одну общую точку А. Значит, прямая а - касательная к окружности.
3. Соединяем данную точку А с центром окружности.
Проводим перпендикуляр к полученному радиусу, проходящий через данную точку. Для этого на луче ОА откладываем отрезок АВ = ОА.
Строим две окружности равного радиуса (произвольного, но больше половины отрезка ОВ) с центрами в точках О и В.
Через точки пересечения окружностей проводим прямую а. Это и есть прямая, перпендикулярная радиусу ОА.
Прямая а - касательная к окружности.
Найти периметр треугольника.
2) Сторона ромба равна 25 см, а его высота- 24 см.
Найти диагонали ромба.
1). НС=√(30²-24²)=18см. (по Пифагору).
АВ²-ВН²=АН² (по Пифагору). Или
24²=(18+х)²-х². => х=7см.
АВ=ВС=18+7=25см.
Периметр равен 25+25+30=80см.
2). Площадь ромба равна Sabcd= ВН*AD = 24*25=600см².
АН=√(25²-24²)=7см. (по Пифагору).
НD=25-7=18см.
BD= √(24²+18²)=30см. (по Пифагору).
Sabcd=(1/2)*D*d=600см² (найдена ранее) =>
AC=1200/30=40см.
ответ: диагонали ромба равны 40см и 30см.