Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, мы можем использовать свойство, что противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны друг другу.
Шаг 1: Расстояние между точками A и B
Чтобы найти расстояние между двумя точками, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.
AB = √((21 - 15)^2 + (6 - 2)^2)
AB = √(6^2 + 4^2)
AB = √(36 + 16)
AB = √52
AB ≈ 7.211
Шаг 2: Расстояние между точками B и C
BC = √((17 - 21)^2 + (12 - 6)^2)
BC = √((-4)^2 + 6^2)
BC = √(16 + 36)
BC = √52
BC ≈ 7.211
Шаг 3: Расстояние между точками C и D
CD = √((11 - 17)^2 + (8 - 12)^2)
CD = √((-6)^2 + (-4)^2)
CD = √(36 + 16)
CD = √52
CD ≈ 7.211
Шаг 4: Расстояние между точками D и A
DA = √((15 - 11)^2 + (2 - 8)^2)
DA = √(4^2 + (-6)^2)
DA = √(16 + 36)
DA = √52
DA ≈ 7.211
Теперь мы видим, что все четыре стороны ABCD имеют одинаковую длину, а значит они равны друг другу (AB = BC = CD = AD). Поэтому, ABCD является прямоугольником, так как противоположные стороны равны и они параллельны.
Шаг 5: Нахождение площади прямоугольника ABCD
Чтобы найти площадь прямоугольника, мы можем использовать формулу:
Площадь = Длина * Ширина
Длина прямоугольника AB = BC = CD = AD ≈ 7.211
Ширина прямоугольника = Расстояние между точками A и D вдоль оси y = 8 - 2 = 6
Площадь прямоугольника ABCD = Длина * Ширина
Площадь прямоугольника ABCD ≈ 7.211 * 6
Площадь прямоугольника ABCD ≈ 43.266
Итак, четырёхугольник ABCD является прямоугольником со сторонами ≈ 7.211 и площадью ≈ 43.266 единицы площади.
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2
Где (a, b, c) - координаты центра сферы, а r - радиус.
Так как в данном случае центр сферы имеет координаты T(–3; 5; –1) и радиус R=4, мы можем подставить их в уравнение:
(x + 3)^2 + (y - 5)^2 + (z + 1)^2 = 4^2
Раскроем квадраты и упростим:
(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 10y + 25) + (z^2 + 2z + 1) = 16
(x^2 + y^2 + z^2) + (6x - 10y + 2z) + (9 + 25 + 1 - 16) = 0
x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 10y + 2z + 19 = 0
Таким образом, уравнение сферы радиуса 4 с центром в точке T(–3; 5; –1) имеет вид:
x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 10y + 2z + 19 = 0
Теперь давайте разберемся с последней частью вопроса - нахождением значений A, B, C, D.
Сравнивая полученное уравнение с уравнением шара, вида (х+A)2+(y+B)2+(z+C)2=D, мы можем увидеть, что:
A = 6
B = -10
C = 2
D = 19
Таким образом, уравнение сферы радиуса 4 с центром в точке T(–3; 5; –1) можно записать как:
(x + 6)^2 + (y - 10)^2 + (z + 2)^2 = 19
Шаг 1: Расстояние между точками A и B
Чтобы найти расстояние между двумя точками, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.
AB = √((21 - 15)^2 + (6 - 2)^2)
AB = √(6^2 + 4^2)
AB = √(36 + 16)
AB = √52
AB ≈ 7.211
Шаг 2: Расстояние между точками B и C
BC = √((17 - 21)^2 + (12 - 6)^2)
BC = √((-4)^2 + 6^2)
BC = √(16 + 36)
BC = √52
BC ≈ 7.211
Шаг 3: Расстояние между точками C и D
CD = √((11 - 17)^2 + (8 - 12)^2)
CD = √((-6)^2 + (-4)^2)
CD = √(36 + 16)
CD = √52
CD ≈ 7.211
Шаг 4: Расстояние между точками D и A
DA = √((15 - 11)^2 + (2 - 8)^2)
DA = √(4^2 + (-6)^2)
DA = √(16 + 36)
DA = √52
DA ≈ 7.211
Теперь мы видим, что все четыре стороны ABCD имеют одинаковую длину, а значит они равны друг другу (AB = BC = CD = AD). Поэтому, ABCD является прямоугольником, так как противоположные стороны равны и они параллельны.
Шаг 5: Нахождение площади прямоугольника ABCD
Чтобы найти площадь прямоугольника, мы можем использовать формулу:
Площадь = Длина * Ширина
Длина прямоугольника AB = BC = CD = AD ≈ 7.211
Ширина прямоугольника = Расстояние между точками A и D вдоль оси y = 8 - 2 = 6
Площадь прямоугольника ABCD = Длина * Ширина
Площадь прямоугольника ABCD ≈ 7.211 * 6
Площадь прямоугольника ABCD ≈ 43.266
Итак, четырёхугольник ABCD является прямоугольником со сторонами ≈ 7.211 и площадью ≈ 43.266 единицы площади.