Точка Р равноудалена от прямых, которые содержат стороны прямоугольного ΔАВС (∠АСВ = 90°) и расположена на расстоянии 4√2 см от его плоскости. Проекция точки Р на плоскость ΔАВС принадлежит этому треугольнику. Найдите угол между прямой РС и плоскостью (АВС), если АС = 12 см, ВС = 16 см.
Решение
1) Тк точка Р равноудалена от прямых, которые содержат стороны прямоугольного ΔАВС, то проекцией точки Р на плоскость ΔАВС является центр описанной окружности , те середина гипотенузы (точка Е).
Углом между прямой РС и плоскостью (АВС) есть угол между прямой РС и ее проекцией ЕС , те ∠РСЕ.
2)ΔАВС, по т Пифагора АВ=√(АС²+ВС²) , АВ=√(12²+16²)=20 (см)
АЕ=ВЕ=20:2=10 (см). Точка Е-центр описанной окружности R=АЕ=ВЕ=СЕ=10 см.
8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD, и проекцию точки A на эту плоскость.
Точка E - это проекция точки A на плоскость BCD.
Уравнение плоскости BCD определим по ранее найденному нормальному вектору плоскости BCD (0; 0; 72) и точке В(9; 7; 4).
Нормальный вектор этой плоскости является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.
Сначала по этим данным определяем уравнение плоскости BCD.
(x – 9)*0 + (y – 7)*0 + (z – 4)*72 = 0,
72z – 288 = 0, сократив на 72, получаем:
уравнение плоскости BCD z – 4 = 0
Из этих же данных получаем уравнение перпендикуляра из точки А(8; 1; 7).
((x - 8)/0 = (y - 1)/0 = ((z – 7)/72.
Так как плоскость BCD имеет все точки с равными значениями аппликат (z = 4), то и проекция точки А на эту плоскость тоже будет иметь эту же координату по оси Оz.
Получаем проекцию E точки А на плоскость BCD:
E(8; 1; 4).
9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения
медиан треугольника ABC.
Находим координаты точки М как среднее арифметическое координат вершин треугольника АВС.
Точки A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), C(6; 16; 4).
М = ((8+9+6)/3; (1+7+16)/3; (7+4+4)/3) = (23/3; 8; 5).
Находим вектор DM.
DM = M((23/3); 8; 5) - D(1; 7; 4) = (20/3; 1; 1).
По этому направляющему вектору и точке D(1; 7; 4) сотавляем каноническое уравнение прямой DM.
(x – 1)/(20/3) = (y – 7)/8 = (z – 4)/5.
Приравняем эти равенства параметру t и получаем параметрические уравнения прямой DM.
Точка Р равноудалена от прямых, которые содержат стороны прямоугольного ΔАВС (∠АСВ = 90°) и расположена на расстоянии 4√2 см от его плоскости. Проекция точки Р на плоскость ΔАВС принадлежит этому треугольнику. Найдите угол между прямой РС и плоскостью (АВС), если АС = 12 см, ВС = 16 см.
Решение
1) Тк точка Р равноудалена от прямых, которые содержат стороны прямоугольного ΔАВС, то проекцией точки Р на плоскость ΔАВС является центр описанной окружности , те середина гипотенузы (точка Е).
Углом между прямой РС и плоскостью (АВС) есть угол между прямой РС и ее проекцией ЕС , те ∠РСЕ.
2)ΔАВС, по т Пифагора АВ=√(АС²+ВС²) , АВ=√(12²+16²)=20 (см)
АЕ=ВЕ=20:2=10 (см). Точка Е-центр описанной окружности R=АЕ=ВЕ=СЕ=10 см.
3)ΔРЕС-прямоугольный (∠РЕС=90°) , tg∠PCE=PE/CE , tg∠PCE=4√2/10=2√2/5, ∠PCE=arctg(2√2/5).
Заданы точки A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), C(6; 16; 4), D(1; 7; 4). Найти:
5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими
плоскостями;
6) площадь треугольника BCD;
7) расстояние от точки B до плоскости ACD;
8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD, и проекцию точки A на эту плоскость;
9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC.
5) Для составления уравнения плоскости по трём точкам используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные для плоскости АВС и упростим выражение:
A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), C(6; 16; 4).
x - 8 y – 1 z - 7
9 - 8 7 – 1 4 - 7
6 - 8 16 – 1 4 - 7 = 0
x - 8 y – 1 z - 7
1 6 -3
-2 15 -3 = 0
(x – 8)(6·(-3)-(-3)·15) – (y – 1)(1·(-3)-(-3)·(-2)) + (z – 7)(1·15-6·(-2)) = 0
27(x – 8) + 9(y – 1) + 27(z – 7) = 0
27x + 9y + 27z - 414 = 0, сократив на 9, получаем:
3x + y + 3z - 46 = 0
ответ: уравнение плоскости АВС 3x + y + 3z - 46 = 0.
Аналогично подставляем данные для плоскости ABD.
A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), D(1; 7; 4).
x - 8 y – 1 z - 7
9 - 8 7 – 1 4 - 7
1 - 8 7 – 1 4 - 7 = 0
x - 8 y – 1 z - 7
1 6 -3
-7 6 -3 = 0
(x – 8)(6·(-3)-(-3)·6) – (y – 1)(1·(-3)-(-3)·(-7)) + (z – 7)(1·6-6·(-7)) = 0
0(x – 8) + 24(y – 1) + 48(z – 7) = 0
0x + 24y + 48z - 360 = 0, сократив на 12, получаем
2y + 4z - 30 = 0.
ответ: уравнение плоскости АВD 2y + 4z - 30 = 0.
Вычислим угол между плоскостями
3x + y + 3z - 46 = 0 и
2y + 4z - 30 = 0.
cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|/(√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²))
cos α = |3·0 + 1·2 + 3·4|/(√(3² + 1² + 3²)*√(0² + 2² + 4²)) =
= |0 + 2 + 12|/(√(9 + 1 + 9)*√(0 + 4 + 16)) =
= 14/(√19*√20) = 14/√380 = 7√95/95 ≈ 0,71819.
α = 44,09518°.
6) Найдем площадь грани ВСD с учётом геометрического смысла векторного произведения:
S=1/2*□((BC) ⃗*(BD) ⃗ ).
Находим вектор ВC.
ВC = C(6; 16; 4) - В(9; 7; 4) = (-3; 9; 0).
Находим вектор ВD.
ВD = D(1; 7; 4) - В(9; 7; 4) = (-8; 0; 0).
Векторное произведение:
i j k
-3 9 0
-8 0 0 = i(9·0-0·0) - j((-3)·0-0·(-8)) + k((-3)·0-9·(-8)) =
=0i + 0j + 72k.
Получен нормальный вектор плоскости BCD, равный (0; 0; 72).
Площадь грани BCD равна половине модуля векторного произведения.
S(BCD) = (1/2)√(0² + 0² + 72²) = (1/2)√(0 + 0 + 5184) = (1/2)*72 = 36 кв. ед.
7) ) Чтобы найти расстояние от точки B до плоскости ACD, сначала определяем уравнение плоскости ACD.
Подставим данные для плоскости АCD и упростим выражение:
A(8; 1; 7), C(6; 16; 4), D(1; 7; 4).
x - 8 y – 1 z - 7
6 - 8 16 – 1 4 - 7
1 - 8 7 – 1 4 - 7 = 0
x - 8 y – 1 z - 7
-2 15 -3
-7 6 -3 = 0
(x – 8)(15·(-3)-(-3)·6) – (y – 1)((-2)·(-3)-(-3)·(-7)) + (z – 7)((-2)·6-15·(-7)) = 0
(-27)(x – 8) + 15(y – 1) + 93(z – 7) = 0
(-27)x + 15y + 93z - 450 = 0, сократив на (-3), получаем:
уравнение плоскости ACD 9x - 5y - 31z + 150 = 0.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²).
Подставим в формулу данные:
d = |9·9 + (-5)·7 + (-31)·4 + 150|/√(9² + (-5)² + (-31)²) =
= |81 - 35 - 124 + 150|/√(81 + 25 + 961) =
= 72/√1067 = 72√1067/1067 ≈ 2,2042.
8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD, и проекцию точки A на эту плоскость.
Точка E - это проекция точки A на плоскость BCD.
Уравнение плоскости BCD определим по ранее найденному нормальному вектору плоскости BCD (0; 0; 72) и точке В(9; 7; 4).
Нормальный вектор этой плоскости является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.
Сначала по этим данным определяем уравнение плоскости BCD.
(x – 9)*0 + (y – 7)*0 + (z – 4)*72 = 0,
72z – 288 = 0, сократив на 72, получаем:
уравнение плоскости BCD z – 4 = 0
Из этих же данных получаем уравнение перпендикуляра из точки А(8; 1; 7).
((x - 8)/0 = (y - 1)/0 = ((z – 7)/72.
Так как плоскость BCD имеет все точки с равными значениями аппликат (z = 4), то и проекция точки А на эту плоскость тоже будет иметь эту же координату по оси Оz.
Получаем проекцию E точки А на плоскость BCD:
E(8; 1; 4).
9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения
медиан треугольника ABC.
Находим координаты точки М как среднее арифметическое координат вершин треугольника АВС.
Точки A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), C(6; 16; 4).
М = ((8+9+6)/3; (1+7+16)/3; (7+4+4)/3) = (23/3; 8; 5).
Находим вектор DM.
DM = M((23/3); 8; 5) - D(1; 7; 4) = (20/3; 1; 1).
По этому направляющему вектору и точке D(1; 7; 4) сотавляем каноническое уравнение прямой DM.
(x – 1)/(20/3) = (y – 7)/8 = (z – 4)/5.
Приравняем эти равенства параметру t и получаем параметрические уравнения прямой DM.
(x – 1)/(20/3) = t, x = (20/3)t + 1.
(y – 7)/8 = t, y = 8t + 7.
(z – 4)/5 = t, z = 5t + 4.