Выпуклый четырехугольник abcd таков, что как бы ни разрезали его на три треугольника, всегда среди них найдется треугольник площади 1. докажите, что abcd – параллелограмм и его площадь равна 2.

Cмотрим на рисунок слева:
Разрежем 4  угольник как показано  на рисунке а  именно:
Проведем  диагональ AC на ней отмечаем точку G. Проводим GB.
Итак вышло 3 треугольника: ABG  BGC  ADC (так мы их и разрежем)
ПО условию  площадь  хотя бы одного треугольника   равна 1.
Предположим  что   площадь  либо одного из треугольников
ABG и  BGC либо их  обоих  равна 1. А  площадь ADC  не  равна 1.
Тогда проведем еще 1  отрезок BG'.
Так  что  BG не  равен G'C то  естественно площади  обоих треугольников   изменились  при  смещении  точки G (тк  изменились длинны  оснований,а высота  у всех  этих  треугольников  общая)
Но  тогда  площади обоих  треугольников ABG' и BG'C уже  не равны 1.
Но тогда тк  из условия  хотя  бы 1  из  площадей равен 1. То  площадь ADC равна 1,но  это  противоречит  условию тк  при  первом  разрезании  его  площадь  не была 1.(а  треугольник ADC  тот  же) То  мы пришли к противоречию. То раз  только среди  треугольников ABG BGC не  может быть  равного 1 площади. То  площадь треугольника ADC равна 1.
Анологично  в силу симетрии  задачи  можно  доказать  что площади  всех  треугольников: ABC,  BCD,  ADC ,ABD- равны 1
Посмотрим  на 2  рисунок:
У  пары  треугольников (ADC,BСD) и (ABC ,DBC)
Проведем  в  каждой  паре треугольников  высоты на стороны соответственно  DC  и BC .
Тк  треугольники  в каждой  паре равновеликие  (тк  все  равны 1),а площадь  треугольника  1/2осн*высоту. То  раз  они имеют  общие основания. То  высоты  в каждой  паре  равны. А  тк понятно  что если   AL   и  A'L'  2  равных перпендикуляра  к прямой Ф.
То  прямые Ф и AA' паралельны.
То  без ограничений  общности  выходит  что: AB  паралельно DC
AD параллельно BC. То  есть это  параллелограмм.
Тк  SADC=SABC=1  то  площадь параллелограмма   равна 2
Что  и требовалось доказать.