Высоты AN и ВМ равнобедренного треугольника АВС, проведённые к боковым сторонам, пересекаются в точке О. Докажите, что прямая ОС - серединный перпендикулярно к отрезку ОВ.

Решение:
Куб - прямоугольный параллелепипед.
Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Диагональ куба d=6.
d² = 3а²
3a²=36
a²=12 ⇒

a=2√3
Найдена длина ребра куба.
Смотрим данный во вложении рисунок:
Диагональ октаэдра равна длине ребра куба.
Ребро октаэдра

ab=cd равно ос*√2=√3 *√2=√6
Формула объема октаэдра
V=(а³√2):3
V=(√6)³√2):3=6√12):3=2*2√3=4√3

-----------------------------------------------
Но можно объем вычислить последовательно по действиям, найдя сторону октаэдра, расстояние от вершин до центра и затем найденный по формуле объема правильной четырехугольной пирамиды
V=Sh:3 результат умножить на два.
ответ будет одинаковым.

при вращении треугольника получится конус...

гипотенуза ---образующая конуса...

пусть бОльший катет (а) (тогда меньший (b))

по т.Пифагора образующая = корень(a^2+b^2)

Sполн. = Sосн. + Sбок. = pi*R^2 + pi*R*L (R ---радиус основания, L ---образующая)

1))) в этом случае R = a

S1 = pi*R^2 + pi*R*L = pi*a^2 + pi*a*корень(a^2+b^2)

2))) в этом случае R = b

S2 = pi*R^2 + pi*R*L = pi*b^2 + pi*b*корень(a^2+b^2)

сравнить два числа, т.е. определить какое из чисел больше 

(это значит оценить их разность, больше или меньше она 0...)

S1-S2 = pi*a^2 + pi*a*корень(a^2+b^2) - pi*b^2 - pi*b*корень(a^2+b^2) = 

pi*(a^2 - b^2 + корень(a^2+b^2)*(a - b))

т.к. a>b => (a-b) > 0

и (a^2 - b^2) > 0 (т.к. a^2 - b^2 = (a - b)*(a + b), a+b всегда > 0)

следовательно S1-S2 > 0,

значит S1 > S2, т.е. при вращении вокруг бОльшего катета площадь полной поверхности будет больше...

это доказательство в общем виде...

можно подставить значения катетов...