См. рисунок. По условию основание a = 32; отрезок c = 14; надо найти b. Так как отрезок с проходит через точку пересечения перпендикуляров к сторонам, то равны отмеченные на рисунке буквой α углы. Отрезок высоты от вершины до точки пересечения высот я отметил буквой H, а от точки пересечения высот до основания - буквой h. Вся высота равна H + h, разумеется. tg(α) = h/(a/2); tg(α) = (c/2)/H; tg(α) = (a/2)/(H + h); по идее этих трех соотношений должно хватить, чтобы найти H + h; Если исключить tg(α), получится 2h/a = c/(2H); c/H = a/(H + h); или 4Hh = ac; c(H + h) = aH; => H = hc/(a - c); => H + h = ha/(a -c); Получилось h^2 = a(a - c)/4; и H + h = (a/2)√(a/(a - c)); b^2 = (H + h)^2 + (a/2)^2 = (a/2)^2*(1 + a/(a - c)) = (a/2)^2*(2a - c)/(a - c); Это ответ. Если подставить a = 32; c = 14; то получится b^2 = 16^2*50/18 = 16^2*25/9 = (80/3)^2; b = 80/3;
Есть одна проблема - в правильном треугольнике все эти три штучки представляют из себя одно и то же. Совпадают, если угодно. Поэтому решить три номера никак не получится. Получится только один :( Для ясности давайте назовём его буквой х.
Берём, и решительной рукой проводим этот отрезок х внутри треугольника. Внезапно оказывается, что он образует со стороной, к которой проведён, прямой угол. Прекрасно, тогда нам на придёт господин Пифагор, не зря же он придумывал столь полезную теорему.
Просто применяем теорему к половинке исходного треугольника, который теперь разбит на два.
Так как отрезок с проходит через точку пересечения перпендикуляров к сторонам, то равны отмеченные на рисунке буквой α углы.
Отрезок высоты от вершины до точки пересечения высот я отметил буквой H, а от точки пересечения высот до основания - буквой h. Вся высота равна H + h, разумеется.
tg(α) = h/(a/2);
tg(α) = (c/2)/H;
tg(α) = (a/2)/(H + h);
по идее этих трех соотношений должно хватить, чтобы найти H + h;
Если исключить tg(α), получится
2h/a = c/(2H);
c/H = a/(H + h);
или
4Hh = ac;
c(H + h) = aH; => H = hc/(a - c); => H + h = ha/(a -c);
Получилось h^2 = a(a - c)/4; и H + h = (a/2)√(a/(a - c));
b^2 = (H + h)^2 + (a/2)^2 = (a/2)^2*(1 + a/(a - c)) = (a/2)^2*(2a - c)/(a - c);
Это ответ. Если подставить a = 32; c = 14; то получится
b^2 = 16^2*50/18 = 16^2*25/9 = (80/3)^2;
b = 80/3;
Для ясности давайте назовём его буквой х.
Берём, и решительной рукой проводим этот отрезок х внутри треугольника. Внезапно оказывается, что он образует со стороной, к которой проведён, прямой угол. Прекрасно, тогда нам на придёт господин Пифагор, не зря же он придумывал столь полезную теорему.
Просто применяем теорему к половинке исходного треугольника, который теперь разбит на два.
гиотенуза ^ 2 = катет^2 + катет^2
1^2 = (1/2)^2 + x^2
x^2 = 1 - 1/4 = 3/4
х = корень(3/4) = корень(3) / 2
И вот мы получили ответ: х = корень(3)/2 - это одновременно и биссектриса, и высота, и медиана правильного треугольника со стороной 1.