Із точки А кола проведені діаметр АВ і хорда АС, які утворюють кут 30 градусів. Точку С сполучено з точкою D, яка належить продовженню діаметра АВ, причому АС=СD. Доведіть що пряма СD є дотичною до кола.

а)Сумма углов четырехугольника АВДС равна 360 градусов. Поэтому, чтобы найти угол АСД надо из 360 отнять сумму заданных углов. Т.е. угол ACD= 360-(43+45+ 137)=360-225=135 градусов. б)Угол BDC =45 градусам, ABD=137 градусам, это внутренние односторонние углы при прямых АВ и  DC и секущей BD. Для того, чтобы прямые АВ и  DC  были параллельны, надо чтобы сумма указанных углов была 180 градусов, а у нас 45+ 137= 182, т.е. эти прямые не параллельны, значит, они имеют общую точку и, если АВ и  DC  продолжить, то они пересекутся.

Рассмотрим треугольники АВС и MNC. Они подобны по второму признаку подобия: две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны:
- CN : CB = CM : CA = 9 : 12 = 12 : 16 = 3 : 4 (коэф. подобия 3/4);
- угол С - общий для треугольников.
У подобных треугольников соответственные углы ВАС и NMC равны. Они являются также соответственными углами при пересечении двух прямых АВ и MN секущей АС. Используем один из признаков параллельности двух прямых: если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Значит, AB II MN.