Вариант 1). Рассмотрим рисунок 1, данный в приложении. Пусть АВСD - данный квадрат, М - точка касания квадрата и сферы, О - центр сферы. По условию ОА=ОВ=ОС=ОD=8 см. По т. Пифагора R=ОМ=√(ОА²-МА²) Диагональ АС квадрата – гипотенуза двух равных прямоугольных равнобедренных треугольника с катетами 8 см и острыми углами 45°. и равна 8:sin45•=8√2. ⇒ AM=AC:2=4√2 ⇒ Искомый радиус OM=√(64-32)=4√2 см.
* * *
Вариант 2). Возможно, квадрат касается сферы сторонами. Тогда решение будет другим. (см. рис.2)
Квадрат, длина стороны которого равна 8 см, касается сферы (сторонами). Вычислите длину радиуса сферы, если известно, что её центр удалён от вершин квадрата на расстояние, равное 8 см.
Квадрат касается сферы в 4 точках, а плоскость квадрата отсекает от сферы круг, радиус которого равен радиусу окружности, вписанной в квадрат. Длина радиуса вписанной в квадрат окружности равна половине его стороны.
r=8:2=4 см
Пусть центр этой окружности (точка пересечения диагоналей квадрата) будет Н.
Расстояние от центра О сферы до вершины С квадрата равно гипотенузе прямоугольного треугольника ОНС, в котором НС - половина диагонали квадрата, ОН - расстояние от центра сферы до плоскости квадрата. (см. рисунок)
Диагональ квадрата равна его стороне, умноженной на √2, т.е. 8√2. НС =(8√2):2=4√2
Пусть дан треугольник ABC,где угол А = 45 °. ВН-высота ;
АН = 6 (см) , НС = 10 (см). Найдём S треугольника.
Рассмотрим треугольник АВН : угол А = 45 ° (по условию), значит угол АВН = 45 °. Следовательно треугольник равнобедренный и АН = НС = 6 (см) ,найдём АС.
АС = АН + НС = 6 + 10 = 16 (см)
Рассмотрим ВН: в равнобедренному треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Найдём высоту по формуле ВН=1/2*АС.
ВН = 1/2 * 16 = 8 (см)
S тр. = S= 1/2 АС * ВН
S тр. = 1/2 * 16 * 8 = 64 (см)
Вариант 1). Рассмотрим рисунок 1, данный в приложении. Пусть АВСD - данный квадрат, М - точка касания квадрата и сферы, О - центр сферы. По условию ОА=ОВ=ОС=ОD=8 см. По т. Пифагора R=ОМ=√(ОА²-МА²) Диагональ АС квадрата – гипотенуза двух равных прямоугольных равнобедренных треугольника с катетами 8 см и острыми углами 45°. и равна 8:sin45•=8√2. ⇒ AM=AC:2=4√2 ⇒ Искомый радиус OM=√(64-32)=4√2 см.
* * *
Вариант 2). Возможно, квадрат касается сферы сторонами. Тогда решение будет другим. (см. рис.2)
Квадрат, длина стороны которого равна 8 см, касается сферы (сторонами). Вычислите длину радиуса сферы, если известно, что её центр удалён от вершин квадрата на расстояние, равное 8 см.
Квадрат касается сферы в 4 точках, а плоскость квадрата отсекает от сферы круг, радиус которого равен радиусу окружности, вписанной в квадрат. Длина радиуса вписанной в квадрат окружности равна половине его стороны.
r=8:2=4 см
Пусть центр этой окружности (точка пересечения диагоналей квадрата) будет Н.
Расстояние от центра О сферы до вершины С квадрата равно гипотенузе прямоугольного треугольника ОНС, в котором НС - половина диагонали квадрата, ОН - расстояние от центра сферы до плоскости квадрата. (см. рисунок)
Диагональ квадрата равна его стороне, умноженной на √2, т.е. 8√2. НС =(8√2):2=4√2
По т.Пифагора
ОH²=OC²-HC²64-32=32
Обозначим точку касания квадрата и сферы Р.
Тогда R=ОР=√(OH²+PH²)=√32+16)=√48=4√3 см