Задача 1. Вершины А и В треугольника АВС лежат по одну сторону от плоскости α, вершина С – по другую. Докажите, что точки пересечения сторон ВС, АС и медианы СМ с плоскостью α, лежат на одной прямой.
Задача 2. Плоскости α и ᵦ параллельны. Отрезки AB и CD, лежащие в этих плоскостях, не параллельны. Могут ли отрезки AC и BD быть параллельными? Поясните

в треугольнике abc, ac = cb = 8, угол acb = 120 градусов. точка m удалена от плоскости треугольника на расстоянии 12 см и находится на равном расстоянии от вершин треугольника abc. 

найти угол между ma и плоскостью треугольника abc

точка m находится на равном расстоянии от вершин треугольника abc, следовательно, наклонные ма, мс и мв равны, их проекции также равны, а м проецируется в центр в описанное вокруг δ авс окружности. 

оа = ов = ос = r

углы при а и в равны, как углы при основании равнобедренного треугольника.

∠а = ∠в = (180º-120º): 2 = 30º

по т.синусов

r = (ac: sin 30º): 2 = (8: 0,5): 2 = 8 см

δ мoa - прямоугольный, мо = 12, ов = 8, и tg ∠mao = 12/8 = 1,5

∠mao =  ≈56º20 "

Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому  oc: ao=ob: do=2: 5  и, так как  ∢boc=∢aod, то  δaod∼δboc  (по второму признаку подобия треугольников: две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, лежащие между этими сторонами равны).  2. так как  δaod∼δboc,  то  adbc=aooc=52. из этого соотношения выражаем и вычисляем большее основание трапеции  ad:   ad=5×bc2=5×122=30  см.  3. вычисляем  ae:   ae=ad−bc2=30−122=182=9  см.  4. так как  δabe  — прямоугольный треугольник, то находим боковую сторону  ab  по теореме  пифагора:   ab=be2+ae2−−−−−−−−−−√=122+92−−−−−−−√=144+81−−−−−−−√=225−−−√=15  см.  5. находим периметр равнобедренной трапеции  abcd:   p(abcd)= 2×ab+ad+bc=2×15+30+12=72  см.