Задача 9. Побудуйте трикутник за кутом, висотою та бісектрисою, проведеними з вершини цього кута.
Розв'язання. Проведемо аналіз задачі на побудову.
На рисунку 325 зображено трикутник ABC, у якому відрі-
зок BD
висота, відрізок ВК — бісектриса.
Якщо відомо довжини відрізків BD і BK, то прямокутний
трикутник BDK можна побудувати за гіпотенузою та катетом.
Також зауважимо, що коли відомо кут ABC, то можна по-
1
будувати кути ABK i KBC, кожний з яких дорівнює 1/2 АВС
Звідси отримуємо план побудови.

Будуємо прямокутний трикут-
ник BDK, у якому гіпотенуза ВК до-
рівнює даній бісектрисі, а катет BD -
даній висоті (рис. 326). Будуємо два
кути, кожний з яких дорівнює по-
ловині даного, так, щоби промінь ВК
був їхньою спільною стороною. На ри-
сунку 326 це кути ABK i KBC. Три-
кутник ABC — шуканий.​

Находим угол АОВ с учетом того, что АО и ОВ - биссектрисы углов А и В (по свойству центра вписанной окружности):
АОВ = 180-(1/2)А-(1/2)В = 180-((1/2)(А+В)) = 180-((1/2)(180-60) =
= 180-90+30 = 120°.
Зная 2 стороны и угол, находим сторону АВ треугольника АОВ:
АВ =√(6²+10²-2*6*10*cos120) = √36+100-120*(-1/2)) = √196 = 14 см.
Зная стороны треугольника АОВ, находим углы А и В (А = 2*ВАО, В =2*АВО) по теореме синусов.
sin BAO = sin120*10/14 =  0.866025*10/14 =  0.6185896°.
Угол ВАО = arc sin  0.6185896 =  0.6669463 радиан = 38.213211°
Угол А = 2* 38.213211 =  76.426421°.
sin ВAO = sin120*6/14 =  0.3711537.
Угол ВАО = arc sin  0.3711537 =  0.3802512 радиан = 21.786789°.
Угол В = 2*  21.786789 =  43.573579°.
Зная углы треугольника АВС и одну сторону АВ = 14 см, находим 2 другие по теореме синусов:
ВС = 14*sin A /sin C = 14* 0.972069 /  0.866025 =   15.71428571 см.
АС = 14*sin В /sin C = 14* 0.6892855 /  0.866025 =   11.14285714 см.
Находим площадь треугольника АВС по формуле Герона:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) =  75.82141 см².
Здесь р = (а+в+с)/2 =  20.428571 см.
Радиус описанной окружности R = abc / 4S =  8.0829038 см.

Номер 1
Рассмотрим треугольник AOC и треугольник BOD:
угол AOC равен углу BOD(как вертикальные)
AO=OB и CO=OD(по условию,т.к. точка серединой является O)
значит треугольник AOC равен треугольнику BOD(по двум сторонам и углу между ними)
значит угол DAO равен углу  CBO(в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы)

номер 2: Рассмотрим треугольник ABD и треугольник ADC:
по условию угол BDA равен углу ADC
сторона AD-общая
и по условию угол BAD=углу DAC(т.к. AD биссектриса)
Значит треугольник ABD равен треугольнику ADC(по двум углам и стороне между ними)
значит сторона AB=AC(т.к. в равных треугольниках против равных углов лежат равны стороны)