Задача по геометрии 9 класс АВ — диаметр окружности с центром в точке О. Радиус этой окружности равен 4, 0\ — середина ОА. С центром в точке 0\ проведена окружность, касающаяся большей окружности в точке А. Хорда CD большей окружности перпендикулярна к АВ и пересекает АВ в точке К. Ей F — точки пересечения CD с меньшей окружностью (C—E—K—F—D), АК = 3.

1) Найдите длины хорд АЕ и АС.

2) Найдите градусную меру дуги AF и ее длину.

3) Найдите площадь части меньшего круга, отсеченной хордой EF.

4) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АСЕ.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.  Доказательство.Обратимся к рисунку, на котором АВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, АD — его биссектриса.Из равенства треугольников АВD и АСD (по 2 признаку равенства треугольников:AD-общая;углы 1 и 2 равны т.к. AD-биссектриса;AB=AC,т.к. треугольник равнобедренный) следует, что ВD = DC и 3 = 4. Равенство ВD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС и поэтому АD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок АО является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.   В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.   В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой     Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.  Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.   

Сумма углов четырехугольника равна .
Четырехугольник можно вписать в окружность, если суммы его противоположных углов равны .
Четырехугольник можно описать вокруг окружности, если суммы длин его противоположных сторон равны: .
Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон:
Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.