ДАНО: ∆АВС – прямоугольный, ∠С=90°; вписанная окружность с центром в точке О; К – точка касания; радиус=2см; ВК–АК=2см
НАЙТИ: АВ; АС; ВС
Стороны треугольника являются касательными к вписанной окружности. Обозначим точки касания Д и М, соединим О и М, О и Д. ОК, ОД и ОМ – радиусы. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому ОК⏊АВ, ОМ ⏊ АС и ОД ⏊ ВС. Получим четырехугольник МОДС. У него МО=ОД=2см. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, значит эти две прямые параллельны и так как ОМ и СД перпендикулярны АС, то ОМ || СД, и МС ⏊ ВС и ОД ⏊ ВС, значит
МС || ОД, а у четырехугольника, у которого противоположные стороны параллельны, они равны, поэтому ОМ=СД=2см, ОД=МС=2см → МОДС – квадрат. Пусть АК=х, тогда ВК=х+2. Отрезки касательных, соединяясь в одной точке равны от вершины до точки касания, поэтому:
АМ=АК=х, ВК=ВД=х+2, СМ=СД=2см. Тогда:
АС=2+х, АВ=х+х+2=2х+2, ВС=2+х+2=х+4
АС=2+х
АВ=2х+2
ВС=х+4
Составим уравнение, используя теорему Пифагора:
АС²+ВС²=АВ²
(2х+2)²=(2+х)²+(х+4)²
4х²+8х+4=4+4х+х²+х²+8х+16
4х²+8х+4=2х²+12х+20
4х²+8х–2х²–12х–20+4=0
2х²–4х–16=0
a=2, b= –4; c= –16
Д=b²–4ac=(–4)²–4•2•(–16)=16+128=144=12²
х₂= –2 нам не подходит, так как сторона не может быть отрицательной, тогда подходит х₁=4
усть скорость первого автомобилиста равна x км/ч, а длина пути равна s км [величина s введена для удобства, она потом сократится]. тогда скорость второго автомобилиста на 1-й половине пути равна x-15 км/ч. время, за которое 1-й автомобилист проехал весь путь равно t1 = s/x.второй автомобилист проехал 1-ю половину пути за время t2_1 = (s/2): (x-15) = s/(2*(x- а вторую половину пути – за время (s/2)/90 =s/180; время всюду измеряется в часах. по условию, t1 = t2_1+t2_2. получаем уравнение:
s/x = s/(2*(x-15)) + s/180
сократим (как и было обещано j ) на s и решим уравнение.
АС=6см
АВ=10см
ВС=8см
Объяснение:
ДАНО: ∆АВС – прямоугольный, ∠С=90°; вписанная окружность с центром в точке О; К – точка касания; радиус=2см; ВК–АК=2см
НАЙТИ: АВ; АС; ВС
Стороны треугольника являются касательными к вписанной окружности. Обозначим точки касания Д и М, соединим О и М, О и Д. ОК, ОД и ОМ – радиусы. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому ОК⏊АВ, ОМ ⏊ АС и ОД ⏊ ВС. Получим четырехугольник МОДС. У него МО=ОД=2см. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, значит эти две прямые параллельны и так как ОМ и СД перпендикулярны АС, то ОМ || СД, и МС ⏊ ВС и ОД ⏊ ВС, значит
МС || ОД, а у четырехугольника, у которого противоположные стороны параллельны, они равны, поэтому ОМ=СД=2см, ОД=МС=2см → МОДС – квадрат. Пусть АК=х, тогда ВК=х+2. Отрезки касательных, соединяясь в одной точке равны от вершины до точки касания, поэтому:
АМ=АК=х, ВК=ВД=х+2, СМ=СД=2см. Тогда:
АС=2+х, АВ=х+х+2=2х+2, ВС=2+х+2=х+4
АС=2+х
АВ=2х+2
ВС=х+4
Составим уравнение, используя теорему Пифагора:
АС²+ВС²=АВ²
(2х+2)²=(2+х)²+(х+4)²
4х²+8х+4=4+4х+х²+х²+8х+16
4х²+8х+4=2х²+12х+20
4х²+8х–2х²–12х–20+4=0
2х²–4х–16=0
a=2, b= –4; c= –16
Д=b²–4ac=(–4)²–4•2•(–16)=16+128=144=12²
х₂= –2 нам не подходит, так как сторона не может быть отрицательной, тогда подходит х₁=4
АС=2+х=2+4=6см
АВ=2х+2=2•4+2=8+2=10см
ВС=х+4=4+4=8см
усть скорость первого автомобилиста равна x км/ч, а длина пути равна s км [величина s введена для удобства, она потом сократится]. тогда скорость второго автомобилиста на 1-й половине пути равна x-15 км/ч. время, за которое 1-й автомобилист проехал весь путь равно t1 = s/x.второй автомобилист проехал 1-ю половину пути за время t2_1 = (s/2): (x-15) = s/(2*(x- а вторую половину пути – за время (s/2)/90 =s/180; время всюду измеряется в часах. по условию, t1 = t2_1+t2_2. получаем уравнение:
s/x = s/(2*(x-15)) + s/180
сократим (как и было обещано j ) на s и решим уравнение.
1/x = 1/(2*(x-15)) + 1/180 (2)
2*(x-15)*180 = 180*x + 2*(x-15)*x
(x-15)*180 = 90*x + (x-15)*x
180*x – 15*180 = 90*x + x2 – 15*x
180*x – 15*180 = 90*x + x2 – 15*x
x2 + (90-15 – 180)*x +15*180 = 0
x2 — 105*x +15*180 = 0
решим полученное квадратное уравнение.
d = 1052 – 4*15*180 = (7*15)2 – 4*15*(15*12) =
= 152*(72 – 4*12) = 152*(49 – 48) = 152
следовательно, уравнение (2) имеет 2 корня:
x1 = (105+15)/2 = 60; x2 = (105-15)/2 = 45
так как x> 54, то x=60
ответ 60