Назовем треугольник АВСД и точку пересечения диагоналей - О. Угол А = углу С = 120 градусов(по свойству ромба), тогда угол В = углу Д = 1/2(360-2*120) = 60 градусов.
В треугольнике АОВ угол ВАО = 1/2*А=1/2*120 = 60 градусов, а угол АВО = 1/2*В = 1/2*60 = 30 градусов.
АО = 1/2а, т.к. лежит против угла в 30 градусов в прямоугольном треугольнике АВО(угол АОВ=90, по свойству диагоналей ромба).
Отсюда, диагональ АС = 2*АО = 2* 1/2а = а (по свойству диагоналей ромба).
По теореме Пифагора ВО^2=AB^2-AO^2= a^2 - 1/4a^2, значит, ВО = (Корень квадратный из трех, деленный на два, умноженный на а).
1) Центром вписанной окружности треугольника является точка пересечения биссектрис.
Биссектриса к основанию равнобедренного треугольника является высотой и медианой.
MO - биссектриса, KE - биссектриса, высота и медиана.
ME=EN=10
По теореме Пифагора
KE =√(MK^2-ME^2) =12*2 =24
По теореме о биссектрисе
KO/OE =MK/ME =13/5 => OE =5/18 KE =20/3
Или по формулам
S=pr
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где p=(a+b+c)/2
Отсюда
r=√[(p-a)(p-b)(p-c))/p]
при a=b
r=c/2 *√[(a -c/2)/(a +c/2)] =10*√(16/36] =20/3
3) Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой, K=90
MN =2*OM =26
По теореме Пифагора
KN =√(MN^2-MK^2) =5*2 =10
P(KMN) =2(5+12+13) =60
Назовем треугольник АВСД и точку пересечения диагоналей - О. Угол А = углу С = 120 градусов(по свойству ромба), тогда угол В = углу Д = 1/2(360-2*120) = 60 градусов.
В треугольнике АОВ угол ВАО = 1/2*А=1/2*120 = 60 градусов, а угол АВО = 1/2*В = 1/2*60 = 30 градусов.
АО = 1/2а, т.к. лежит против угла в 30 градусов в прямоугольном треугольнике АВО(угол АОВ=90, по свойству диагоналей ромба).
Отсюда, диагональ АС = 2*АО = 2* 1/2а = а (по свойству диагоналей ромба).
По теореме Пифагора ВО^2=AB^2-AO^2= a^2 - 1/4a^2, значит, ВО =
(Корень квадратный из трех, деленный на два, умноженный на а).
Следовательно, ВД = 2*ВО = 2 *
= 
.
ответ:
(Корень из трех, умноженный на а).