Завдання 1. Скільки площин можна провести через пряму і точку?
А Одну
Б Безліч
В Одну або дві
Г Одну або безліч
Завдання 2. Діагоналі квадрата паралельні площині α. Як розташовані площина α і площина квадрата?
А Паралельні
Б Перетинаються, але не
В перпендикулярні
Г Перпендикулярні
Д Визначити неможливо
Завдання 3. Точка М рівновіддалена від усіх вершин прямокутного трикутника, МО – перпендикуляр до площини цього трикутника. Де розташована точка О?
А Точка О – центр вписаного кола
Б Точка О належить одному з катетів
В Точка О збігається з вершиною
Г прямого кута
Д Точка О – середина гіпотенузи
Завдання 4. Із вершини В рівнобедреного трикутника АВС (АВ = ВС) до його площини проведено перпендикуляр ВМ. Точка К – середина сторони АС. Чому дорівнює довжина відрізка МК, якщо МС = 20 см, СМК = 60°?
А 20 см
Б 10√2см
В 10 см
Г 10√3см
Завдання 5. Площа многокутника відноситься до площі ортогональної проекції як 2 : 1. Чому дорівнює кут між їх площинами?
А 90°
Б 60°
В 45°
Г 30°
Завдання 6. При якому значенні λ вектори і перпендикулярні?
А 7
Б –7
В 1
Г –1
Завдання 7. АВСDA1B1C1D1 – куб. Установіть відповідність між твердженнями (1 – 4) і прямими (А – Д), для якої є правильним це твердження.
1
Паралельна прямій АВ1
А DC
2
Мимобіжна з прямою АВ1
Б B1C
3
Перпендикулярна до прямої АВ1
В DC1
4
Утворює з прямою АВ1 кут 60°
Г A1B1
Д A1B
Завдання 8. Вершини трикутника розміщені в точках А(1; 0; 1), В(–1;3;0),
С(3; 4; 3).
1)Знайдіть довжину медіани, проведеної з вершини В.
2)Обчисліть косинус кута між прямими ВМ і АВ, де М – середина сторони АС.
У завданнях 9 – 11 наведіть повне пояснення задач
Завдання 9. Точка Fзнаходиться на відставні 9 см від кожної вершини квадрата ABCD, сторона якого дорівнює 8 см. Знайдіть відстань від точки F до площини квадрата.
Завдання 10. З точки М до площини α проведено перпендикуляр МО і похилі МА і МВ, різниця яких дорівнює 2 см. Проекції похилих на площину α дорівнюють 9 см і 5 см. Знайдіть відстань від точки М до площини α.
Завдання 11. Сторона правильного трикутника дорівнює см. Точка М рівновіддалена від сторін трикутника і знаходиться на відстані см від площини. Знайдіть відстань від точки М до сторін трикутника.
СМ и ДМ - биссектрисы.
АМ||СД, СМ - секущая.
Накрестлежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны. Угол ВМС=углу МСД.
Но так как СМ биссектриса и угол МСД=ВСМ, то все эти три угла равны. Из равенства углов при основании СМ треугольника МВС следует. что этот треугольник - равнобедренный. МВ=Вс=26.
Точно также доказывается равенство сторон АМ и АД треугольника АМД.
Следовательно, большая сторона АВ=СД=АМ+МВ=26+26=52.
--------
Замечу, что биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник ( иногда сюда входят продолжения сторон). Это свойство биссектрисы пригодится при решении многих задач.
Точка пересечения биссектрисс делит противоположную сторону на два отрезка, каждый из которых вместе с соседней боковой стороной и самой биссектриссой образует треугольник. Оба эти треугольника - равнобедренные, поскольку угол, который биссектриса образует с противоположной стороной, является внутренним накрест лежащим для одного из двух равных углов, на которые она - биссектриса - делит угол параллелограмма.
Поэтому оба треугольника равнобедренные, и оба отрезка противоположной стороны равны соседним боковым сторонам.
То есть большая сторона равна 26 + 26 = 52