Хорошо, давайте рассмотрим каждую задачу по порядку:
1. Задача: План участка имеет форму прямоугольника и имеет площадь 54 гектара. Длина плана в 4 раза больше ширины. Найдите длину и ширину плана.
Решение:
Давайте обозначим ширину плана через x. Тогда длина плана будет равна 4x, так как она в 4 раза больше ширины.
Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. То есть:
Площадь = Длина x Ширина
54 = 4x * x
54 = 4x^2
Теперь давайте решим это уравнение:
4x^2 = 54
x^2 = 54/4
x^2 = 13.5
x = √13.5 (квадратный корень из 13.5)
x ≈ 3.674
Таким образом, ширина плана составляет около 3.674 гектара, а длина - около 4 * 3.674 = 14.696 гектара.
2. Задача: Трехзначное число оканчивается на 8. Если поменять местами первую и последнюю цифры числа и вычесть полученное число из исходного, то получится 198. Найдите исходное число.
Решение:
Пусть трехзначное число равно XYZ, где X, Y и Z обозначают цифры в порядке увеличения разрядности (единицы, десятки, сотни соответственно).
Мы знаем, что число заканчивается на 8, поэтому Z = 8.
Меняем первую и последнюю цифры местами, получаем число YXZ.
Теперь вычитаем это число из исходного XYZ: XYZ - YXZ = 198.
Давайте выполним вычитание:
(100X + 10Y + Z) - (100Y + 10X + Z) = 198
100X + 10Y + 8 - 100Y - 10X - 8 = 198
90X - 90Y = 198
Делим обе части уравнения на 90:
X - Y = 2
Теперь мы знаем, что разность между X и Y равна 2.
Трехзначное число, в котором разность между первой и последней цифрой равна 2, может быть только 319 или 752.
Однако, если мы проверим оба этих числа, ни одно из них не удовлетворяет условию задачи.
Таким образом, задача не имеет решения.
3. Задача: В том случае, если при преобразованиях числа его сумма цифр становится в 3 раза больше, произведение цифр - в 4 раза больше, а число возрастает на 405, найдите исходное число.
Решение:
Пусть число равно XYZ, где X, Y и Z обозначают цифры в порядке увеличения разрядности (единицы, десятки, сотни соответственно).
Мы знаем, что изменения числа связаны со следующими формулами:
(100X + 10Y + Z) + 405 = 3(X + Y + Z)
(100X + 10Y + Z)(X + Y + Z) = 4XYZ
Распишем первую формулу и решим ее относительно Z:
100X + 10Y + Z + 405 = 3X + 3Y + 3Z
97X + 7Y + 2Z = 405
Поскольку X, Y и Z - целые числа, можно предположить, что Z = 1.
Теперь заменим Z во второй формуле на 1 и разрешим ее:
(100X + 10Y + 1)(X + Y + 1) = 4XY
(100X + 10Y + 1)(X + Y + 1) = 4XY
100X^2 + 10XY + X + 10XY + Y^2 + Y + X + Y + 1 = 4XY
100X^2 + 20XY + 2X + 2Y^2 + 2Y + 1 = 4XY
100X^2 + 20XY - 2XY + 2X + 2Y^2 + 2Y + 1 = 0
100X^2 + 18XY + 2X + 2Y^2 + 2Y + 1 = 0
Теперь заменим XY на (X - Y) из первой формулы:
100X^2 + 18(X - Y) + 2X + 2Y^2 + 2Y + 1 = 0
100X^2 + 18X - 18Y + 2X + 2Y^2 + 2Y + 1 = 0
100X^2 + 20X - 16Y + 2Y^2 + 2Y + 1 = 0
Делаем замену переменных:
A = X + Y, B = X - Y
Объединим коэффициенты при A и B:
100(A + B)^2 + 20(A - B) - 16B + 2B^2 + 2(B/2)^2 + 2(B/2) + 1 = 0
100(A^2 + 2AB + B^2) + 20A - 20B - 16B + 2B^2 + 2(B^2/4) + B + 1 = 0
100A^2 + 200AB + 100B^2 + 20A - 36B + 2B^2 + B + 1 = 0
(100A^2 + 200AB + 100B^2) + (20A - 36B + 2B^2 + B + 1) = 0
100A^2 + 200AB + 100B^2 = (-20A + 36B - 2B^2 - B - 1)
Обозначим левую и правую стороны уравнения как f(A, B):
f(A, B) = 100A^2 + 200AB + 100B^2
f(A, B) = -20A + 36B - 2B^2 - B - 1
1. Задача: План участка имеет форму прямоугольника и имеет площадь 54 гектара. Длина плана в 4 раза больше ширины. Найдите длину и ширину плана.
Решение:
Давайте обозначим ширину плана через x. Тогда длина плана будет равна 4x, так как она в 4 раза больше ширины.
Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. То есть:
Площадь = Длина x Ширина
54 = 4x * x
54 = 4x^2
Теперь давайте решим это уравнение:
4x^2 = 54
x^2 = 54/4
x^2 = 13.5
x = √13.5 (квадратный корень из 13.5)
x ≈ 3.674
Таким образом, ширина плана составляет около 3.674 гектара, а длина - около 4 * 3.674 = 14.696 гектара.
2. Задача: Трехзначное число оканчивается на 8. Если поменять местами первую и последнюю цифры числа и вычесть полученное число из исходного, то получится 198. Найдите исходное число.
Решение:
Пусть трехзначное число равно XYZ, где X, Y и Z обозначают цифры в порядке увеличения разрядности (единицы, десятки, сотни соответственно).
Мы знаем, что число заканчивается на 8, поэтому Z = 8.
Меняем первую и последнюю цифры местами, получаем число YXZ.
Теперь вычитаем это число из исходного XYZ: XYZ - YXZ = 198.
Давайте выполним вычитание:
(100X + 10Y + Z) - (100Y + 10X + Z) = 198
100X + 10Y + 8 - 100Y - 10X - 8 = 198
90X - 90Y = 198
Делим обе части уравнения на 90:
X - Y = 2
Теперь мы знаем, что разность между X и Y равна 2.
Трехзначное число, в котором разность между первой и последней цифрой равна 2, может быть только 319 или 752.
Однако, если мы проверим оба этих числа, ни одно из них не удовлетворяет условию задачи.
Таким образом, задача не имеет решения.
3. Задача: В том случае, если при преобразованиях числа его сумма цифр становится в 3 раза больше, произведение цифр - в 4 раза больше, а число возрастает на 405, найдите исходное число.
Решение:
Пусть число равно XYZ, где X, Y и Z обозначают цифры в порядке увеличения разрядности (единицы, десятки, сотни соответственно).
Мы знаем, что изменения числа связаны со следующими формулами:
(100X + 10Y + Z) + 405 = 3(X + Y + Z)
(100X + 10Y + Z)(X + Y + Z) = 4XYZ
Распишем первую формулу и решим ее относительно Z:
100X + 10Y + Z + 405 = 3X + 3Y + 3Z
97X + 7Y + 2Z = 405
Поскольку X, Y и Z - целые числа, можно предположить, что Z = 1.
Теперь заменим Z во второй формуле на 1 и разрешим ее:
(100X + 10Y + 1)(X + Y + 1) = 4XY
(100X + 10Y + 1)(X + Y + 1) = 4XY
100X^2 + 10XY + X + 10XY + Y^2 + Y + X + Y + 1 = 4XY
100X^2 + 20XY + 2X + 2Y^2 + 2Y + 1 = 4XY
100X^2 + 20XY - 2XY + 2X + 2Y^2 + 2Y + 1 = 0
100X^2 + 18XY + 2X + 2Y^2 + 2Y + 1 = 0
Теперь заменим XY на (X - Y) из первой формулы:
100X^2 + 18(X - Y) + 2X + 2Y^2 + 2Y + 1 = 0
100X^2 + 18X - 18Y + 2X + 2Y^2 + 2Y + 1 = 0
100X^2 + 20X - 16Y + 2Y^2 + 2Y + 1 = 0
Делаем замену переменных:
A = X + Y, B = X - Y
Объединим коэффициенты при A и B:
100(A + B)^2 + 20(A - B) - 16B + 2B^2 + 2(B/2)^2 + 2(B/2) + 1 = 0
100(A^2 + 2AB + B^2) + 20A - 20B - 16B + 2B^2 + 2(B^2/4) + B + 1 = 0
100A^2 + 200AB + 100B^2 + 20A - 36B + 2B^2 + B + 1 = 0
(100A^2 + 200AB + 100B^2) + (20A - 36B + 2B^2 + B + 1) = 0
100A^2 + 200AB + 100B^2 = (-20A + 36B - 2B^2 - B - 1)
Обозначим левую и правую стороны уравнения как f(A, B):
f(A, B) = 100A^2 + 200AB + 100B^2
f(A, B) = -20A + 36B - 2B^2 - B - 1
Продолжение в комментарии...