ДАНО: ∆АВС – прямоугольный, ∠С=90°; вписанная окружность с центром в точке О; К – точка касания; радиус=2см; ВК–АК=2см
НАЙТИ: АВ; АС; ВС
Стороны треугольника являются касательными к вписанной окружности. Обозначим точки касания Д и М, соединим О и М, О и Д. ОК, ОД и ОМ – радиусы. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому ОК⏊АВ, ОМ ⏊ АС и ОД ⏊ ВС. Получим четырехугольник МОДС. У него МО=ОД=2см. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, значит эти две прямые параллельны и так как ОМ и СД перпендикулярны АС, то ОМ || СД, и МС ⏊ ВС и ОД ⏊ ВС, значит
МС || ОД, а у четырехугольника, у которого противоположные стороны параллельны, они равны, поэтому ОМ=СД=2см, ОД=МС=2см → МОДС – квадрат. Пусть АК=х, тогда ВК=х+2. Отрезки касательных, соединяясь в одной точке равны от вершины до точки касания, поэтому:
АМ=АК=х, ВК=ВД=х+2, СМ=СД=2см. Тогда:
АС=2+х, АВ=х+х+2=2х+2, ВС=2+х+2=х+4
АС=2+х
АВ=2х+2
ВС=х+4
Составим уравнение, используя теорему Пифагора:
АС²+ВС²=АВ²
(2х+2)²=(2+х)²+(х+4)²
4х²+8х+4=4+4х+х²+х²+8х+16
4х²+8х+4=2х²+12х+20
4х²+8х–2х²–12х–20+4=0
2х²–4х–16=0
a=2, b= –4; c= –16
Д=b²–4ac=(–4)²–4•2•(–16)=16+128=144=12²
х₂= –2 нам не подходит, так как сторона не может быть отрицательной, тогда подходит х₁=4
АС=6см
АВ=10см
ВС=8см
Объяснение:
ДАНО: ∆АВС – прямоугольный, ∠С=90°; вписанная окружность с центром в точке О; К – точка касания; радиус=2см; ВК–АК=2см
НАЙТИ: АВ; АС; ВС
Стороны треугольника являются касательными к вписанной окружности. Обозначим точки касания Д и М, соединим О и М, О и Д. ОК, ОД и ОМ – радиусы. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому ОК⏊АВ, ОМ ⏊ АС и ОД ⏊ ВС. Получим четырехугольник МОДС. У него МО=ОД=2см. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, значит эти две прямые параллельны и так как ОМ и СД перпендикулярны АС, то ОМ || СД, и МС ⏊ ВС и ОД ⏊ ВС, значит
МС || ОД, а у четырехугольника, у которого противоположные стороны параллельны, они равны, поэтому ОМ=СД=2см, ОД=МС=2см → МОДС – квадрат. Пусть АК=х, тогда ВК=х+2. Отрезки касательных, соединяясь в одной точке равны от вершины до точки касания, поэтому:
АМ=АК=х, ВК=ВД=х+2, СМ=СД=2см. Тогда:
АС=2+х, АВ=х+х+2=2х+2, ВС=2+х+2=х+4
АС=2+х
АВ=2х+2
ВС=х+4
Составим уравнение, используя теорему Пифагора:
АС²+ВС²=АВ²
(2х+2)²=(2+х)²+(х+4)²
4х²+8х+4=4+4х+х²+х²+8х+16
4х²+8х+4=2х²+12х+20
4х²+8х–2х²–12х–20+4=0
2х²–4х–16=0
a=2, b= –4; c= –16
Д=b²–4ac=(–4)²–4•2•(–16)=16+128=144=12²
х₂= –2 нам не подходит, так как сторона не может быть отрицательной, тогда подходит х₁=4
АС=2+х=2+4=6см
АВ=2х+2=2•4+2=8+2=10см
ВС=х+4=4+4=8см
қиық пирамида көлемі
V=7√3 /36 см³
а2=2см
а1=1 см
α=30°
V- ?
қиық пирамида төменгі табанындағы дұрыс үшбұрыштың сырттай сызылған шеңбердің радиусы
Rт=a2/√3=2/√3 см
жоғарғы
Rж=а1/√3=1/√3 см
пирамида қиылмаған жағдайдағы биіктігі (пирамида төбесінен төмендегі табанға дейінгі )
Hтөм= tgα×Rт=tg30° ×2/√3=√3/3 × 2/√3=2/3 см
жоғарғы табан биіктігі
Hжоғ=tgα×Rж=tg30°×1/√3 =√3/3 × 1/√3=1/3 см
қиылған пирамида биіктігі
Hқ=Нтөм- Нжоғ=2/3 - 1/3 = (2 - 1)/3=1/3 см
жоғарғы табан ауданы ( дұрыс тең қабырғалы үшбұрыштың ауданы формуласымен )
S1=a²√3 /4= 1² ×√3 /4= √3 /4 см²
төменгі табан ауданы
S2=а²√3 /4=2²×√3 /4= 4×√3 /4=√3 см²
қиық пирамида көлемі
V=1/3 × H×(S1+√S1×S2 + S2)
V=1/3 × 1/3×(√3/4 + √(√3/4 × √3) + √3 )=
=1/9×(√3 /4 +√3 /2 + √3)=1/9×( (√3 +2√3 + 4√3)/4 )=
=1/9 × 7√3/ 4=7√3 /36 см³