На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены соответственно точки P, Q и R. Известно, что AP : PB = BQ : QC = CR : RA = 4, а площадь треугольника АВС равна 25 кв.см. Чему равна площадь треугольника PQR (в кв.см)?
Проведем ВВ₁⊥АС и РР₁⊥АС.
ΔАВВ₁ подобен ΔАРР₁ по двум углам (угол при вершине А общий, ∠АР₁Р = ∠АВ₁В = 90°), ⇒
РР₁ : ВВ₁ = АР : АВ = 4 : 5
РР₁ = 4/5 ВВ₁
AR = 1/5 AC
Sapr = 1/2 AR · PP₁ = 1/2 · 1/5 AC · 4/5 BB₁ = 4/25 (1/2 AC · BB₁) = 4/25 · Sabc
На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены соответственно точки P, Q и R. Известно, что AP : PB = BQ : QC = CR : RA = 4, а площадь треугольника АВС равна 25 кв.см. Чему равна площадь треугольника PQR (в кв.см)?
Проведем ВВ₁⊥АС и РР₁⊥АС.
ΔАВВ₁ подобен ΔАРР₁ по двум углам (угол при вершине А общий, ∠АР₁Р = ∠АВ₁В = 90°), ⇒
РР₁ : ВВ₁ = АР : АВ = 4 : 5
РР₁ = 4/5 ВВ₁
AR = 1/5 AC
Sapr = 1/2 AR · PP₁ = 1/2 · 1/5 AC · 4/5 BB₁ = 4/25 (1/2 AC · BB₁) = 4/25 · Sabc
Проведем QQ₁⊥AC.
ΔСQQ₁ подобен ΔСВВ₁ по двум углам.
QQ₁ : BB₁ = CQ : CB = 1 : 5
QQ₁ = 1/5 BB₁
RC = 4/5 AC
Scqr = 1/2 RC · QQ₁ = 1/2 · 4/5 AC · 1/5 BB₁ = 4/25 (1/2 AC · BB₁) = 4/25 · Sabc
Проведем АА₁⊥ВС и РР₂⊥ВС.
ΔАА₁В подобен ΔРР₂В по двум углам.
РР₂ : АА₁ = РВ : АВ = 1 : 5
РР₂ = 1/5 АА₁
BQ = 4/5 BC
Sbpq = 1/2 BQ · PP₂ = 1/2 · 4/5 BC · 1/5 AA₁ = 4/25 (1/2 BC · AA₁) = 4/25 · Sabc
Spqr = Sabc - Sapq - Scqr - Sbpq = Sabc - 3 · 4/25 Sabc = Sabc - 12/25 Sabc =
= 13/25 Sabc
Spqr = 13/25 · 25 = 13 см²
На основании принятой системы координат определяем координаты точек, лежащих на заданных плоскостях и по ним находим уравнения плоскостей.
E(1; 0; 0,5), F(1; 0,5; 0), D(0; 0; 0).
Плоскость EFD:
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xE y - yE z - zE
xF - xE yF - yE zF - zEA
xD - xE yD - yE zD - zE
= 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 1 y - 0 z - 0,5
1 - 1 0,5 - 0 0 - 0,5
0 - 1 0 - 0 0 - 0,5
= 0
x - 1 y - 0 z - 0,5
0 0,5 -0,5
-1 0 -0,5
= 0
( x - 1) 0,5·(-0,5)-(-0,5)·0 - (y - 0) 0·(-0,5)-(-0,5)·(-1) + (z - 0,5) 0·0-0,5·(-1) = 0
(-0,25) x - 1 + 0,5 y - 0 + 0,5 z - 0,5 = 0
- 0,25x + 0,5y + 0,5z = 0
EFD : x - 2y - 2z = 0.
A₁(1; 0; 1), D₁(0; 0: 1), M(1; 1; 0,5).
Плоскость A1D1M:
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA1 y - yA1 z - zA1
xD - xA1 yD - yA1 zD - zA1
xM - xA1 yM - yA1 zM - zA1
= 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 1 y - 0 z - 1
0 - 1 0 - 0 1 - 1
1 - 1 1 - 0 0,5 - 1
= 0
x - 1 y - 0 z - 1
-1 0 0
0 1 -0,5
= 0
(x - 1) 0·(-0,5)-0·1 - (y - 0) (-1)·(-0,5)-0·0 + (z - 1) (-1)·1-0·0 = 0
0 x - 1 + (-0,5) y - 0 + (-1) z - 1 = 0
- 0,5y - z + 1 = 0
A1D1M: - y - 2z + 2 = 0.
Вычислим угол между плоскостями
x - 2y - 2z = 0 и
- y - 2z + 2 = 0
cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2| /(√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²))
cos α = |1·0 + (-2)·(-1) + (-2)·(-2)| /(√(1² + (-2)² + (-2)²)*√(0² + (-1)² + (-2)²)) =
= |0 + 2 + 4| /(√(1 + 4 + 4)*√(0 + 1 + 4)) =
= 6/(√9*√5) = 6 /√45 = 2√5/5 ≈ 0,8944272.
α = 26,56505°