а) Любой прямоугольный треугольник можно разрезать на два равнобедренных треугольника.
Верно.
В любом прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине (см. рисунок). Если разрезать треугольник по медиане, то получим два равнобедренных треугольника.
б) Существует четырехугольник со сторонами 2, 3, 5, 11.
Неверно.
Каждая сторона четырехугольника должна быть меньше суммы остальных его сторон.
В данном четырехугольнике для стороны 11:
11 < 5 + 3 + 2 - неравенство неверно, значит четырехугольник с такими сторонами не существует.
в) В любом выпуклом пятиугольнике всегда есть тупой угол.
Верно.
Сумма углов выпуклого многоугольника определяется по формуле:
180°(n - 2), где n - количество сторон.
Для пятиугольника:
180° · 3 = 540°.
Если предположить, что все его углы острые (меньше 90°), то сумма будет меньше 90° · 5 = 450°. Значит есть тупой угол.
г) Внутри любого треугольника существует точка, равноудаленная от всех его вершин.
Неверно.
Точка, равноудаленная от всех вершин треугольника, - это центр описанной окружности.
Только в остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри треугольника. В прямоугольном - на стороне (середина гипотенузы). В тупоугольном - вне треугольника.
Объяснение: Ромб - параллелограмм, все стороны которого равны.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят ромб на 4 равных прямоугольных треугольника, катеты которых равны половинам диагоналей.
Пусть в ромбе АВСD диагональ ВD=2х, АС=2х+6, тогда их половины ВО=х и АО=х+3. По т.Пифагора ВО²+АО²=АВ² х²+(х+3)²=225⇒
2х²+6х+9=225 ⇒ 2х²+6х -208=0 Сократив все члены уравнения на 2, получим приведённое квадратное уравнение х²+3х-208. Его корни можно найти через дискриминант, можно по т.Виета:
Сумма корней приведённого квадратного трехчлена равна его второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение - свободному члену ⇒
х1+х2=-3
х1•х2=-208 ⇒ корни равны 9 и -12 ( отрицательный корень не подходит)
х=9, 2х=18, 2х+6=24
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
а) Любой прямоугольный треугольник можно разрезать на два равнобедренных треугольника.
Верно.
В любом прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине (см. рисунок). Если разрезать треугольник по медиане, то получим два равнобедренных треугольника.
б) Существует четырехугольник со сторонами 2, 3, 5, 11.
Неверно.
Каждая сторона четырехугольника должна быть меньше суммы остальных его сторон.
В данном четырехугольнике для стороны 11:
11 < 5 + 3 + 2 - неравенство неверно, значит четырехугольник с такими сторонами не существует.
в) В любом выпуклом пятиугольнике всегда есть тупой угол.
Верно.
Сумма углов выпуклого многоугольника определяется по формуле:
180°(n - 2), где n - количество сторон.
Для пятиугольника:
180° · 3 = 540°.
Если предположить, что все его углы острые (меньше 90°), то сумма будет меньше 90° · 5 = 450°. Значит есть тупой угол.
г) Внутри любого треугольника существует точка, равноудаленная от всех его вершин.
Неверно.
Точка, равноудаленная от всех вершин треугольника, - это центр описанной окружности.
Только в остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри треугольника. В прямоугольном - на стороне (середина гипотенузы). В тупоугольном - вне треугольника.
ответ: 216 (ед. площади)
Объяснение: Ромб - параллелограмм, все стороны которого равны.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят ромб на 4 равных прямоугольных треугольника, катеты которых равны половинам диагоналей.
Пусть в ромбе АВСD диагональ ВD=2х, АС=2х+6, тогда их половины ВО=х и АО=х+3. По т.Пифагора ВО²+АО²=АВ² х²+(х+3)²=225⇒
2х²+6х+9=225 ⇒ 2х²+6х -208=0 Сократив все члены уравнения на 2, получим приведённое квадратное уравнение х²+3х-208. Его корни можно найти через дискриминант, можно по т.Виета:
Сумма корней приведённого квадратного трехчлена равна его второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение - свободному члену ⇒
х1+х2=-3
х1•х2=-208 ⇒ корни равны 9 и -12 ( отрицательный корень не подходит)
х=9, 2х=18, 2х+6=24
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Ѕ=18•24:2=216 (ед. площади)