Обозначим стороны АВ=АС=b, BC=a, биссектрису BL=d, угол ABL=альфа, тогда углы при основании треугольника ABC=ACB=(2альфа) угол при вершине BAC=(180-4альфа) и альфа должен быть < 45 градусов, т.е. 2альфа должен быть < 90 градусов, т.к. в равнобедренном треугольнике угол при основании не может быть тупым... угол ALB=(3альфа) по т.синусов: a*sin(2альфа) = b*sin(180-4альфа) отсюда a = b*sin(180-4альфа) / sin(2альфа) = b*sin(4альфа) / sin(2альфа) = = 2*b*cos(2альфа) по т.синусов: AL*sin(3альфа) = b*sin(альфа) по условию задачи d = BC - AL = a - b*sin(альфа) / sin(3альфа) = = 2*b*cos(2альфа) - b*sin(альфа) / sin(3альфа) = = b* ( 2*cos(2альфа) - sin(альфа) / sin(3альфа) ) для длины биссектрисы справедлива формула: d = 2*a*b*cos(альфа) / (a+b) отдельно запишем a+b = 2*b*cos(2альфа) + b = b*(2*cos(2альфа) + 1) d = 2*2*b*cos(2альфа)*b*cos(альфа) / ( b*(2*cos(2альфа) + 1) ) = = 4*b*cos(2альфа)*cos(альфа) / (2*cos(2альфа) + 1) если приравнять два получившихся равенства для биссектрисы d, то длина стороны b сократится и останется тригонометрическое равенство: sin(альфа) / sin(3альфа) = = 2*cos(2альфа) - 4*cos(2альфа)*cos(альфа) / (2*cos(2альфа) + 1) после несложных преобразований можно получить равенство: 2*cos(2альфа)*(4*(cos(альфа))^2 - 1) = 1 + 4*cos(2альфа)*cos(альфа) это выражение можно привести к полному уравнению четвертой степени относительно косинуса альфа (но у меня красивое решение этого уравнения никак не получается...))) одно из решений здесь очевидно... cos(альфа) = +- 1/2 но этот угол не может быть в равнобедренном треугольнике (см. выше...))) если решать оставшееся кубическое уравнение, то единственным подходящим решением получается cos(альфа) =примерно= 0.94 (0.93969) это угол около 20 градусов тогда углы данного равнобедренного треугольника 40, 40, 100 может у Вас получится более точное решение...
Решение первой задачи дано. Нет смысла повторяться, хотя можно дать немного иное решение ( из подобия треугольников АВД и АСЕ) с тем же результатом. Задача 2. Точка Р лежит на дуге окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС. Докажите, что РС = РА + РВ.
Угол АРС опирается на ту же дугу, что угол АВС. Следовательно Угол АРС =60° Угол СРВ на том же основании равен 60°. Выразим АС по т. косинусов из треугольника АРС. АС²=АР²+РС²-2 АР*РС cos(60°) Выразим ВС по т. косинусов из треугольника ВРС. ВС²=ВР²+РС²-2 ВР*РС cos(60°) АС=ВС как стороны равностороннего треугольника, приравняем эти два уравнения. АР²+РС²-2 АР·РС cos(60°)=ВР²+РС²-2 ВР·РС cos(60°) АР²-ВР²=РС²-2 ВР·РС cos(60°)-РС²+2 АР·РС cos(60°) Вынесем в правой части общий множитель 2РС·cos(60°) за скобки: АР²-ВР²=2РС·cos(60°)(-ВР+АР) АР²-ВР²=2РС·1/2·(АР-ВР) (АР-ВР)(АР+ВР)=РС·(АР-ВР) Сократим обе части уравнения на (АР-ВР) (АР+ВР)=РС, что и требовалось доказать.
угол ABL=альфа, тогда углы при основании треугольника ABC=ACB=(2альфа)
угол при вершине BAC=(180-4альфа)
и альфа должен быть < 45 градусов, т.е. 2альфа должен быть < 90 градусов, т.к. в равнобедренном треугольнике угол при основании не может быть тупым...
угол ALB=(3альфа)
по т.синусов: a*sin(2альфа) = b*sin(180-4альфа)
отсюда a = b*sin(180-4альфа) / sin(2альфа) = b*sin(4альфа) / sin(2альфа) =
= 2*b*cos(2альфа)
по т.синусов: AL*sin(3альфа) = b*sin(альфа)
по условию задачи d = BC - AL = a - b*sin(альфа) / sin(3альфа) =
= 2*b*cos(2альфа) - b*sin(альфа) / sin(3альфа) =
= b* ( 2*cos(2альфа) - sin(альфа) / sin(3альфа) )
для длины биссектрисы справедлива формула: d = 2*a*b*cos(альфа) / (a+b)
отдельно запишем a+b = 2*b*cos(2альфа) + b = b*(2*cos(2альфа) + 1)
d = 2*2*b*cos(2альфа)*b*cos(альфа) / ( b*(2*cos(2альфа) + 1) ) =
= 4*b*cos(2альфа)*cos(альфа) / (2*cos(2альфа) + 1)
если приравнять два получившихся равенства для биссектрисы d, то длина стороны b сократится и останется тригонометрическое равенство:
sin(альфа) / sin(3альфа) =
= 2*cos(2альфа) - 4*cos(2альфа)*cos(альфа) / (2*cos(2альфа) + 1)
после несложных преобразований можно получить равенство:
2*cos(2альфа)*(4*(cos(альфа))^2 - 1) = 1 + 4*cos(2альфа)*cos(альфа)
это выражение можно привести к полному уравнению четвертой степени относительно косинуса альфа (но у меня красивое решение этого уравнения никак не получается...)))
одно из решений здесь очевидно... cos(альфа) = +- 1/2
но этот угол не может быть в равнобедренном треугольнике (см. выше...)))
если решать оставшееся кубическое уравнение, то единственным подходящим решением получается cos(альфа) =примерно= 0.94 (0.93969)
это угол около 20 градусов
тогда углы данного равнобедренного треугольника 40, 40, 100
может у Вас получится более точное решение...
Задача 2.
Точка Р лежит на дуге окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС. Докажите, что РС = РА + РВ.
Угол АРС опирается на ту же дугу, что угол АВС. Следовательно
Угол АРС =60°
Угол СРВ на том же основании равен 60°.
Выразим АС по т. косинусов из треугольника АРС.
АС²=АР²+РС²-2 АР*РС cos(60°)
Выразим ВС по т. косинусов из треугольника ВРС.
ВС²=ВР²+РС²-2 ВР*РС cos(60°)
АС=ВС как стороны равностороннего треугольника, приравняем эти два уравнения.
АР²+РС²-2 АР·РС cos(60°)=ВР²+РС²-2 ВР·РС cos(60°)
АР²-ВР²=РС²-2 ВР·РС cos(60°)-РС²+2 АР·РС cos(60°)
Вынесем в правой части общий множитель 2РС·cos(60°) за скобки:
АР²-ВР²=2РС·cos(60°)(-ВР+АР)
АР²-ВР²=2РС·1/2·(АР-ВР)
(АР-ВР)(АР+ВР)=РС·(АР-ВР)
Сократим обе части уравнения на (АР-ВР)
(АР+ВР)=РС, что и требовалось доказать.