5) Пусть H - высота призмы. Так как призма прямая, то ее боковыми гранями будут прямоугольники, одна из сторон которых - это высота призмы, а другие стороны - соответствующие стороны основания призмы. Пусть a = 6, b = 25, c = 29 - стороны основания.
Sбоковой поверх. = Н*a + H*b+ H*c = H * (a+b+c) = 600, откуда
Н = 600/(a+b+c) = 600/(25+29+6) = 600/60 = 10.
Объем призмы = площадь основания * высоту, в основании лежит треугольник и его площадь вычислим по формуле Герона:
S = √p * √(p-a) * √(p-b) * √(p-c), где р - полупериметр, р = 60/2 = 30.
6) В основании такой пирамиды лежит квадрат. Он будет вписан в окружность радиуса R. Диаметр окружности равен диагонали квадрата, а диагональ равна стороне квадрата, умноженной на √2.
Тогда R = 1/2 диагонали = (√2/2) * сторону квадрата = 6√2/2 = 3√2.
Обозначим высоту пирамиды как H, по условию она совпадает
с высотой конуса (она вписана в него, и их вершины сходятся в одной точке, а образующая конуса совпадает с ребром пирамиды).
Рассмотрим Δ, содержащий боковую сторону пирамиды, ее высоту и радиус окружности. Данный Δ является прямоугольным, ведь высота ⊥ радиусу, а боковая сторона (боковое ребро) будет при этом гипотенузой. По теореме Пифагора: (боковое ребро)² = радиус² + (высота пирамиды)² ⇒ 12² = (3√2)² + Н² ⇒ 144 = 18 + Н² ⇒ Н = √126.
Если продлить боковые стороны до пересечения, то получится прямоугольный треугольник.
Если есть прямоугольная система координат XOY (внимание - буквой O обозначено начало кооринат, а не центр окружности! в применении к задаче - это точка пересечения AB и CD) и окружность, касающаяся оси OY и пресекающая ось OX в 2 точках, то её уравнение в самом общем виде (x - R)^2 + (y - a)^2 = R^2; точка (R, a) - центр.
=> x^2 - 2xR + (y-a)^2 = 0; при y = 0; x^2 - 2xR + a^2 = 0;
корни R - √(R^2 - a^2) и R + √(R^2 - a^2); пусть эти точки совпадают с точками A и B в условии, тогда при AB = 11
2√(R^2 - a^2) = 11;
Еще неиспользованное условие - AD/DC = 3/2; из того, что треугольники OBC и OAD подобны (я напоминаю, что буквой O я обозначил начало координат, а не центр окружности), ясно, что OA/OB = 3/2; или
(R + √(R^2 - a^2))/(R - √(R^2 - a^2)) = 3/2;
ну вот, по смыслу задача решилась, и ответ гораздо ближе, чем кажется :) потому что
5) Пусть H - высота призмы. Так как призма прямая, то ее боковыми гранями будут прямоугольники, одна из сторон которых - это высота призмы, а другие стороны - соответствующие стороны основания призмы. Пусть a = 6, b = 25, c = 29 - стороны основания.
Sбоковой поверх. = Н*a + H*b+ H*c = H * (a+b+c) = 600, откуда
Н = 600/(a+b+c) = 600/(25+29+6) = 600/60 = 10.
Объем призмы = площадь основания * высоту, в основании лежит треугольник и его площадь вычислим по формуле Герона:
S = √p * √(p-a) * √(p-b) * √(p-c), где р - полупериметр, р = 60/2 = 30.
S = √30 *√(30-6) *√(30-25) *√(30-29) = √30*√24*√5 = √144*√25 =
12*5 = 60, тогда объем = 60 * 10 = 600 см³
6) В основании такой пирамиды лежит квадрат. Он будет вписан в окружность радиуса R. Диаметр окружности равен диагонали квадрата, а диагональ равна стороне квадрата, умноженной на √2.
Тогда R = 1/2 диагонали = (√2/2) * сторону квадрата = 6√2/2 = 3√2.
Обозначим высоту пирамиды как H, по условию она совпадает
с высотой конуса (она вписана в него, и их вершины сходятся в одной точке, а образующая конуса совпадает с ребром пирамиды).
Рассмотрим Δ, содержащий боковую сторону пирамиды, ее высоту и радиус окружности. Данный Δ является прямоугольным, ведь высота ⊥ радиусу, а боковая сторона (боковое ребро) будет при этом гипотенузой. По теореме Пифагора: (боковое ребро)² = радиус² + (высота пирамиды)² ⇒ 12² = (3√2)² + Н² ⇒ 144 = 18 + Н² ⇒ Н = √126.
Vконуса = 1/3 * Sоснования * высоту = 1/3 * πR²*H = 1/3 * π *(3√2)²*√126 =
18/3 * π * √126 = 6π√126 = 6π*3√14 = 18π√14 см³
Если продлить боковые стороны до пересечения, то получится прямоугольный треугольник.
Если есть прямоугольная система координат XOY (внимание - буквой O обозначено начало кооринат, а не центр окружности! в применении к задаче - это точка пересечения AB и CD) и окружность, касающаяся оси OY и пресекающая ось OX в 2 точках, то её уравнение в самом общем виде (x - R)^2 + (y - a)^2 = R^2; точка (R, a) - центр.
=> x^2 - 2xR + (y-a)^2 = 0; при y = 0; x^2 - 2xR + a^2 = 0;
корни R - √(R^2 - a^2) и R + √(R^2 - a^2); пусть эти точки совпадают с точками A и B в условии, тогда при AB = 11
2√(R^2 - a^2) = 11;
Еще неиспользованное условие - AD/DC = 3/2; из того, что треугольники OBC и OAD подобны (я напоминаю, что буквой O я обозначил начало координат, а не центр окружности), ясно, что OA/OB = 3/2; или
(R + √(R^2 - a^2))/(R - √(R^2 - a^2)) = 3/2;
ну вот, по смыслу задача решилась, и ответ гораздо ближе, чем кажется :) потому что
простая подстановка дает
(R + 11/2)/(R - 11/2) = 3/2; => R = 55/2;