Точка M проектируется на плоскость грани ABC в центр треугольника ABC, пусть это точка K, . Это означает, что проекция ребра MA на плоскость ABC - это отрезок KA, то есть - радиус окружности, ОПИСАННОЙ вокруг правильного треугольника ABC. Если ребро пирамиды обозначить a (по условию a = 4√3), то KA = a/√3; (из теоремы синусов); KA = 4; Отсюда легко находится высота пирамиды MK, поскольку MK^2 = MA^2 - AK^2; MK = 3;; Площадь треугольника ABC равна Sabc = a^2*sin(60°)/2 = a^2*√3/4 = 16*3*√3/4 = 12√3; Грани MAB; MAC; MBC - треугольники со сторонами 5, 5, 4√3, апофема находится так m^2 = 5^2 - (2√3)^2 = 25 - 12 = 13; m = √13; Smab = 4√3*√13/2 = 2√39; поэтому площадь полной поверхности пирамиды MABC равна Sp = 12√3 + 6√39 = 6√3*(2 + √13); Объем пирамиды V = Sabc*MK/3 = 12√3*3/3 = 12√3; Если соединить центр O вписанного шара с вершинами пирамиды,то пирамида "разделится" на 4 пирамиды OABC; OABM; OACM; OBCM; высоты у этих пирамид одинаковые, и равны радиусу вписанного шара r, что означает, что объем всей пирамиды можно записать, как V = r*Sp/3; Отсюда r = 3*V/Sp; r = 3*(12√3)/(12√3 + 6√39) = 6/(2 + √13) = (2/3)*(√13 - 2); Объем шара равен (4π/3)r^3; если честно, мне с корнями возиться лень... (4π/3)r^3 = (4π/3)*(2/3)^3*(√13 - 2)^3 = (32π/27)*(13√13 - 3*13*2 + 3*√13*4 - 8) = (32π/27)*(25√13 - 86); ну типа того. Вы арифметику проверьте, я мог ошибиться где то в числах.
Углы В и С равны соответственно 115° и 155° (дано). Значит углы А и D трапеции равны соответственно 180°-115°=65° и 180°-155°=25°. То есть углы при основании трапеции в сумме равны 65°+25°=90°. Продлим стороны АВ и DC трапеции до их пересечения в точке Е. Тогда треугольники АЕD и подобный ему ВЕС (ВС параллельна AD) - прямоугольные, так как <Е=90° (180°-90°). В прямоугольном треугольнике ВЕС катет ВЕ=ВС*Cos65° (так как <CBE=<DAE). По таблице Cos65° ≈ 0,423. Тогда ВЕ=4,2. Проведем перпендикуляр ОК к стороне АВ трапеции. Это серединный перпендикуляр, так как О - центр окружности, а АВ - ее хорда. КВ=АВ/2=7. Итак, фигура ОКЕР - прямоугольник (ОР - радиус в точку касания, ОК - серединный перпендикуляр, а <КЕР=90°). Искомый радиус ОР равен стороне КЕ=КВ+ВЕ = 7+4,2=11,2. ответ: искомый радиус окружности равен 11,2.
Если ребро пирамиды обозначить a (по условию a = 4√3), то KA = a/√3; (из теоремы синусов); KA = 4;
Отсюда легко находится высота пирамиды MK, поскольку MK^2 = MA^2 - AK^2;
MK = 3;;
Площадь треугольника ABC равна Sabc = a^2*sin(60°)/2 = a^2*√3/4 = 16*3*√3/4 = 12√3;
Грани MAB; MAC; MBC - треугольники со сторонами 5, 5, 4√3, апофема находится так m^2 = 5^2 - (2√3)^2 = 25 - 12 = 13; m = √13; Smab = 4√3*√13/2 = 2√39;
поэтому площадь полной поверхности пирамиды MABC равна Sp = 12√3 + 6√39 = 6√3*(2 + √13);
Объем пирамиды V = Sabc*MK/3 = 12√3*3/3 = 12√3;
Если соединить центр O вписанного шара с вершинами пирамиды,то пирамида "разделится" на 4 пирамиды OABC; OABM; OACM; OBCM; высоты у этих пирамид одинаковые, и равны радиусу вписанного шара r, что означает, что объем всей пирамиды можно записать, как V = r*Sp/3;
Отсюда r = 3*V/Sp; r = 3*(12√3)/(12√3 + 6√39) = 6/(2 + √13) = (2/3)*(√13 - 2);
Объем шара равен (4π/3)r^3; если честно, мне с корнями возиться лень...
(4π/3)r^3 = (4π/3)*(2/3)^3*(√13 - 2)^3 = (32π/27)*(13√13 - 3*13*2 + 3*√13*4 - 8) = (32π/27)*(25√13 - 86); ну типа того.
Вы арифметику проверьте, я мог ошибиться где то в числах.
То есть углы при основании трапеции в сумме равны 65°+25°=90°.
Продлим стороны АВ и DC трапеции до их пересечения в точке Е.
Тогда треугольники АЕD и подобный ему ВЕС (ВС параллельна AD) - прямоугольные, так как <Е=90° (180°-90°).
В прямоугольном треугольнике ВЕС катет ВЕ=ВС*Cos65° (так как <CBE=<DAE). По таблице Cos65° ≈ 0,423. Тогда ВЕ=4,2.
Проведем перпендикуляр ОК к стороне АВ трапеции. Это серединный перпендикуляр, так как О - центр окружности, а АВ - ее хорда. КВ=АВ/2=7.
Итак, фигура ОКЕР - прямоугольник (ОР - радиус в точку касания, ОК - серединный перпендикуляр, а <КЕР=90°).
Искомый радиус ОР равен стороне КЕ=КВ+ВЕ = 7+4,2=11,2.
ответ: искомый радиус окружности равен 11,2.