Если провести диаметр OY (это я его так обозначил, чтобы как-то потом называть), параллельно CD и перпендикулярно (само собой) AB, то он пройдет через середину AB, то есть точки A и B симметричны относительно OY; Теперь надо построить хорду C1D1, симметричную CD относительно OY; ясно, что она параллельна CD и перпендикулярна AB, ясно, что C1D1 = CD; и вообще - CDD1C1 это прямоугольник. Что означает, что CD1 - диаметр. Поскольку при зеркальном отражении относительно OY точка A переходит в B, а точка D - в точку D1, то BD = AD1; (по определению равенства фигур, между прочим). Остается заметить, что, раз CD1 - диаметр, то треугольник ACD1 - прямоугольный, и записать для него теорему Пифагора.
Теперь надо построить хорду C1D1, симметричную CD относительно OY; ясно, что она параллельна CD и перпендикулярна AB, ясно, что C1D1 = CD; и вообще - CDD1C1 это прямоугольник. Что означает, что CD1 - диаметр.
Поскольку при зеркальном отражении относительно OY точка A переходит в B, а точка D - в точку D1, то BD = AD1; (по определению равенства фигур, между прочим).
Остается заметить, что, раз CD1 - диаметр, то треугольник ACD1 - прямоугольный, и записать для него теорему Пифагора.
Дано: угол С равен 60°, AB=3, BC=8, CD=5.
Найти:
а) Длину BD. Находим по теореме косинусов.
BD = √(5² + 8² - 2*5*8*cos 60°) = √(25 + 64 - 2*5*8*(1/2) =
= √49 = 7.
б) Длину радиуса окружности.
R = (abc)/(4S). Площадь треугольника BCD определяем по Герону:
a = 5, b = 8, c = 7.
p = (5+8+7)/2 = 20/2 = 10.
S = √(10*5*2*3) = 10√3 ≈ 17, 320508.
R = (5*8*7)/(4*10√3) = 7/√3 = 7√3/3.
в) Площадь четырёхугольника ABCD.
Находим площадь треугольника ABD.
По теореме синусов находим AD = 5. p = (3 + 7 + 5)/2 = 7,5.
S(ABD) = √(7.5*4.5*0.5*2.5) = √42,1875 ≈ 6,495191.
S(ABCD) = 10√3 + √42,1875 ≈ 23,8157 кв.ед.