1. Какая из данных логических функций является тождественно ложной?
а) ¬ A ↔ ¬ B
б) ¬ (A → (B → A))
в) ¬ A → A ∧ B
г) ¬ A → ¬ B
2. Сколько различных решений имеет уравнение ¬M ∧ K ∧ ¬N ∧ ¬J ∧ (L ∨¬L) = 0, где J, K, L, M, N – логические переменные?
3. Каково наибольшее целое положительное число X, при котором истинно высказывание:
(X• (X +1) > 55) → (X•X > 50)
5. A, B и C – целые числа, для которых истинно высказывание:
(C < A ∨ C < B) ∧ ¬ (C+1 < A) ∧ ¬ (C+1 < B) Чему равно C, если A=45 и B=18
а) ¬ A ↔ ¬ B
Для определения условий, при которых данная функция будет истинной или ложной, необходимо построить таблицу истинности:
A | B | ¬ A | ¬ B | ¬ A ↔ ¬ B
---------------------------
0 | 0 | 1 | 1 | 1
---------------------------
0 | 1 | 1 | 0 | 0
---------------------------
1 | 0 | 0 | 1 | 0
---------------------------
1 | 1 | 0 | 0 | 1
Анализируя полученную таблицу, можно увидеть, что при A = 0 и B = 1 функция ¬ A ↔ ¬ B имеет значение 0. То есть она является тождественно ложной.
б) ¬ (A → (B → A))
Для определения условий, при которых данная функция будет истинной или ложной, также построим таблицу истинности:
A | B | B → A | A → (B → A) | ¬ (A → (B → A))
-----------------------------------------------
0 | 0 | 1 | 1 | 0
-----------------------------------------------
0 | 1 | 0 | 1 | 0
-----------------------------------------------
1 | 0 | 1 | 0 | 1
-----------------------------------------------
1 | 1 | 0 | 1 | 0
Из полученной таблицы видно, что при A = 1 и B = 0 функция ¬ (A → (B → A)) имеет значение 1, а не 0, следовательно, она не является тождественно ложной.
в) ¬ A → A ∧ B
Таблица истинности для данной функции:
A | B | ¬ A | A ∧ B | ¬ A → A ∧ B
-------------------------------
0 | 0 | 1 | 0 | 0
-------------------------------
0 | 1 | 1 | 0 | 0
-------------------------------
1 | 0 | 0 | 0 | 1
-------------------------------
1 | 1 | 0 | 1 | 1
Из таблицы видно, что данная функция никогда не принимает значение 0, значит, она не является тождественно ложной.
г) ¬ A → ¬ B
Таблица истинности:
A | B | ¬ A | ¬ B | ¬ A → ¬ B
---------------------------
0 | 0 | 1 | 1 | 1
---------------------------
0 | 1 | 1 | 0 | 0
---------------------------
1 | 0 | 0 | 1 | 1
---------------------------
1 | 1 | 0 | 0 | 1
Анализируя таблицу, видно, что данная функция также не является тождественно ложной, так как при A = 0 и B = 1 она принимает значение 0.
Таким образом, из предложенных логических функций только функция а) ¬ A ↔ ¬ B является тождественно ложной.
2. Для решения этого вопроса необходимо найти количество возможных комбинаций значений переменных J, K, L, M, N, при которых уравнение ¬M ∧ K ∧ ¬N ∧ ¬J ∧ (L ∨ ¬L) = 0.
Уравнение может быть истинным только если все термы в его правой части исключающе истинны. В данном случае, учитывая, что L ∨ ¬L всегда равно 1 (истина), чтобы исключить ¬M равное 0 (ложь), должны быть истинными остальные переменные, а именно K, ¬N и ¬J.
Таким образом, уравнение будет равно 0 только в одном случае, когда J, K, L, M, N принимают следующие значения: J = 0, K = 1, L = 1, M = 0, N = 1.
Итого, уравнение имеет одно решение.
3. Для определения значения переменной X, при котором высказывание (X • (X + 1) > 55) → (X • X > 50) будет истинным, необходимо поочередно анализировать условия в высказывании.
Высказывание (X • (X + 1) > 55) → (X • X > 50) будет ложным только в случае, когда оба условия будут истинными.
Анализируя первое условие, имеем X • (X + 1) > 55. Переформулируем это неравенство: X^2 + X > 55. Для решения этого неравенства перенесем все в одну сторону:
X^2 + X - 55 > 0
Далее решим это неравенство с помощью факторизации или квадратного корня:
(X - 5)(X + 11) > 0
Теперь рассмотрим второе условие, X • X > 50. Это неравенство можно записать как X^2 - 50 > 0. Решая его, получаем:
(X - 5)(X + 5) > 0
Таким образом, чтобы оба условия в высказывании были истинны, необходимо и достаточно, чтобы X > 5.
Следовательно, наибольшее целое положительное число X для которого истинно высказывание, будет X = 6.
5. Для определения значения переменной C, при котором высказывание (C < A ∨ C < B) ∧ ¬ (C+1 < A) ∧ ¬ (C+1 < B) будет истинным, необходимо рассмотреть условия в высказывании.
Сначала проанализируем выражение C < A ∨ C < B. Для его истинности необходимо, чтобы одно из условий было истинным. В данном случае A = 45 и B = 18. Таким образом, чтобы это условие было истинным, C должно быть меньше 45 или меньше 18.
Затем рассмотрим выражение ¬ (C+1 < A) ∧ ¬ (C+1 < B). Для его истинности необходимо, чтобы оба условия были ложными. Переведем неравенства в эквивалентную им форму:
C + 1 ≥ A и C + 1 ≥ B
Подставляя значения A = 45 и B = 18, имеем:
C + 1 ≥ 45 и C + 1 ≥ 18
C ≥ 44 и C ≥ 17
Таким образом, чтобы оба условия были ложными, C должно быть больше или равно 45 и больше или равно 18.
Анализируя полученные условия, можно сделать вывод, что C должно быть больше или равно 45, так как оно должно удовлетворять обоим условиям.
Следовательно, C = 45.