Ал­го­ритм вы­чис­ле­ния зна­че­ния функ­ций F(n) и G(n), где n – на­ту­раль­ное число, задан сле­ду­ю­щи­ми со­от­но­ше­ни­я­ми:
F(1) =4;
F(n) =3⋅F(n–1) +4 ⋅ n, при n >1;
G(1) =1;
G(n) =4⋅G(n–1) + 5 ⋅ n, при n >1.
Чему равно зна­че­ние функ­ции F(6) + G(6)?​

Сязание снабжает мозг информацией о внешней среде. Органы осязания (рецепторы) разбросаны по всей поверхности тела.

Рецепторы - чувствительные нервные окончания - воспринимают действия внешних раздражителей - прикосновения, давление, вибрацию, боль, холод и тепло. Мы чувствуем, что мех мягкий, а наждачная бумага шершавая, ощущаем давление тяжелых предметов, боль от укола, жар пламени и холод ледяной воды. Рецепторы в основном находятся в коже, а также 5 в мышцах, суставах и некоторых слизистых оболочках.

Рецепторы, чувствительные к легким прикосновениям и слабому давлению, и находятся в верхней части дермы. Более крупные рецепторы, реагирующие на ушибы и сильное давление, размещены в дерме глубже и почти все окружены капсулами. Тепло, холод и боль воспринимаются ветвящимися нервными окончаниями, которые находятся на границе между эпидермисом и дермой; они не имеют капсул. Информация от всех рецепторов в виде электрических импульсов передается по нервам в чувствительные зоны мозга. Мозг анализирует эти сигналы и строит на их основе картину окружающей нас обстановки. Например, ощущение боли предупреждает человека о возможной опасности.

Метод Монте-Карло получил распространение с появлением ЭВМ. Его преимущество в том, что он очень легко программируется и для сложных задач зачастую является единственным приемлемом решения. Суть метода: составляется некоторая целевая функция и затем отыскивается её минимум или максимум. Параметры функции задаются при датчика случайных чисел.

Пример. Найти минимум функции P(x,y,z) при заданных ограничениях.

Как видно из условия, имеется пять ограничений.
Конечно, в данном случае можно решить задачу методом простого перебора параметров с каким-то шагом, сначала найти примерное положение минимума (или минимумов, если их несколько), а потом уменьшить шаг и повторить поиск, но методом Монте-Карло задача решается намного изящнее.

function f(x, y, z: real): real;
begin
  f := sin(2 * x) + cos(3 * y) + sqr(sin(4 * z + 1))
end;

var
  x, y, z, p, x1, y1, z1, p1: real;
  i, n: longint;

begin
  Write('Введите число проб: ');
  Readln(n);
  Randomize;
  p1 := 1e20;
  for i := 1 to n do
  begin
    repeat
      x := 4 * Random - 2;
      y := 3 * Random - 1.5;
      z := 10 * Random - 5
    until (x>0) and (x*z>=0);
    p := f(x, y, z);
    if p1 > p then begin
      x1 := x; y1 := y; z1 := z; p1 := p
    end;
  end;
  Writeln('n=', n:8, ' ', x1:0:4, ' ', y1:0:4, ' ', z1:0:4, ' Минимум=', p1)
end.

Тестовое решение (при разных количествах проб):

Введите число проб: 1000
n=    1000 1.9111 -1.0660 0.5749 Минимум=-1.6029403376222

n=   10000 1.9931 -1.0176 2.0465 Минимум=-1.68773775014315

Введите число проб: 100000
n=  100000 1.9985 -1.0401 0.5191 Минимум=-1.75037309941284

Введите число проб: 1000000
n= 1000000 1.9997 1.0378 3.6868 Минимум=-1.7544874244815

Введите число проб: 10000000
n=10000000 1.9995 1.0471 2.1027 Минимум=-1.75595433108399

Вычисление даже для 10 миллионов проб выполняется около 5 секунд, так что быстродействие метода прекрасное

Анализ результатов показывает, что наша целевая функция имеет значительное количество экстремумов, что связано с наличием в ней трех периодических функций. Значение аргумента х практически определено (оно меняется незначительно), его можно зафиксировать и продолжить поиск уже для функции двух переменных, границы которых также следует сузить в районе полученных значений.

Посмотрим, как будут отыскиваться экстремумы с теми же ограничениями на те же параметры, если целевую функцию заменить на непериодическую:


В программе при этом надо будет только изменить формулу целевой функции:
f := 3.5*sqr(x)+2.4*sqr(y-1)-6.18*y*z

Тестовое решение:

Введите число проб: 1000
n=    1000 0.4468 1.3516 4.9403 Минимум=-40.2712691657245

n=   10000 0.1716 1.4677 4.8246 Минимум=-43.1319690531051

Введите число проб: 100000
n=  100000 0.0283 1.4920 4.9365 Минимум=-44.9334596263254

Введите число проб: 1000000
n= 1000000 0.0320 1.4891 4.9963 Минимум=-45.3999805516411

Введите число проб: 10000000
n=10000000 0.1106 1.4998 4.9993 Минимум=-45.6964653852599

Хорошо видно, что параметры y и z уже после 10 тысяч проб практически не меняются, а параметр х меняется в значительных пределах. Дальнейший путь решения - зафиксировать с некоторой точностью найденные значения параметров и продолжить поиск значения уже одной переменной в области [0;0.15], или также зафиксировать найденное значение функции и решить полученное уравнение относительно х.