Логическое выражение, являющееся истинным при любом наборе входящих в него переменных, называется тождест-
венно истинным. Убедитесь, что следующие логические вы-
ражения являются тождественно истинными:
1) A → (В → A);
2) (A →не B ) → (В → не A );
3) (A & C → B) → (C → (A ∨ B → B & C)).
1) Для того чтобы убедиться, что выражение A → (B → A) является тождественно истинным, нам нужно проверить его для всех возможных значений переменных A и B.
Построим таблицу истинности для данного выражения:
| A | B | A → (B → A) |
|----|----|------------|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | T |
В таблице мы можем видеть, что выражение A → (B → A) принимает значение "истина" во всех случаях. Таким образом, это выражение является тождественно истинным.
2) Теперь рассмотрим выражение (A → ¬B) → (B → ¬A). Опять же, проверим его для всех возможных значений переменных A и B.
Построим таблицу истинности для данного выражения:
| A | B | (A → ¬B) | (B → ¬A) | (A → ¬B) → (B → ¬A) |
|----|----|----------|----------|---------------------|
| T | T | F | F | T |
| T | F | T | T | T |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
Мы видим, что выражение (A → ¬B) → (B → ¬A) также принимает значение "истина" во всех случаях. Таким образом, это выражение является тождественно истинным.
3) Наконец, давайте рассмотрим выражение (A & C → B) → (C → (A ∨ B → B & C)).
Построим таблицу истинности для данного выражения:
| A | B | C | A & C | (A & C → B) | A ∨ B | (A ∨ B → B & C) | (C → (A ∨ B → B & C)) | (A & C → B) → (C → (A ∨ B → B & C)) |
|----|----|----|-------|------------|-------|-----------------|-----------------------|--------------------------------|
| T | T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | T | T | F | T | T |
| T | F | T | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | F | F | T |
| F | T | T | F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | F | T | T | F | T | T |
| F | F | T | F | T | F | T | T | T |
| F | F | F | F | T | F | T | T | T |
Мы видим, что выражение (A & C → B) → (C → (A ∨ B → B & C)) принимает значение "истина" во всех случаях. Таким образом, это выражение является тождественно истинным.
Таким образом, все три данного логических выражения являются тождественно истинными.