В зоопарке появился заяц. Чтобы ему не было скучно, директор распорядился поставить в его клетке лесенку. Теперь зайчик может прыгать по лесенке вверх, перепрыгивая через ступеньки.
Лестница имеет N ступеней. Заяц может одним прыжком преодолеть не более K ступенек. Для разнообразия зайчик пытается каждый раз найти новый путь к вершине лестницы.
Директору интересно, сколькими разными заяц может добраться до вершины лестницы при заданных значениях K и N. Напишите программу, которая вычислить искомое количество.
Например, если K = 3 и N = 4, то есть такие маршруты: 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 2 + 1, 2 + 1 + 1, 2 + 2, 1 + 3, 3 + 1 есть при данных значениях у зайца всего 7 различных маршрутов.
Мы знаем, что зайцу необходимо прыгнуть на верхнюю ступеньку лестницы. Значит, заяц может двигаться с любой из предыдущих ступенек. Если мы разделим эту задачу на подзадачи, то можем заметить, что чтобы добраться до верхней ступеньки, заяц может прыгать на 1, 2, 3, ..., K ступенек перед текущей ступенькой. Если z представляет количество способов добраться до текущей ступеньки, то z[i] будет представлять количество способов добраться до i-й ступеньки. Следовательно, мы можем выразить z[i] через предыдущие элементы.
Теперь давайте рассмотрим конкретный пример, чтобы лучше понять, как это работает. Предположим, у нас есть лестница с 4 ступенями (N = 4) и заяц может преодолеть не более 3 ступенек за один прыжок (K = 3).
Для первой ступеньки (i = 1) количество способов добраться до нее будет равно 1, так как заяц может сразу прыгнуть на нее.
Для второй ступеньки (i = 2) количество способов добраться до нее будет равно количеству способов добраться до предыдущей ступеньки (z[1]), так как заяц может прыгнуть на нее с предыдущей ступеньки.
Для третьей ступеньки (i = 3) количество способов добраться до нее будет равно сумме количества способов добраться до предыдущих двух ступенек (z[2] + z[1]), так как заяц может прыгнуть на нее с предыдущей ступеньки или с двух ступенек назад.
Для четвертой ступеньки (i = 4) количество способов добраться до нее будет равно сумме количества способов добраться до предыдущих трех ступенек (z[3] + z[2] + z[1]).
Итак, решение этой задачи будет выглядеть следующим образом:
1. Инициализируем массив z длиной N+1, где все элементы равны 0, кроме первого элемента, который равен 1.
2. С использованием цикла for от 2 до N (включительно) вычисляем количество способов добраться до каждой ступеньки i, используя формулу z[i] = z[i-1] + z[i-2] + ... + z[i-K].
3. Выводим значение последнего элемента массива z, которое представляет количество различных маршрутов.
Итак, давайте напишем код на Python:
```
N = 4
K = 3
z = [0] * (N+1)
z[0] = 1
z[1] = 1
for i in range(2, N+1):
for j in range(1, K+1):
if i - j >= 0:
z[i] += z[i-j]
print(z[N])
```
В этом коде мы используем два цикла for. Внешний цикл проходит по всем ступенькам от 2 до N, а внутренний цикл проходит по всем возможным путям прыжка зайца от 1 до K.
Оператор if проверяет, что предыдущая ступенька существует (i - j >= 0). Если это верно, значит заяц может прыгнуть с предыдущей ступеньки, и мы добавляем количество способов этого пути к z[i].
В финальной строке мы выводим количество различных маршрутов, которыми заяц может добраться до вершины лестницы.
Надеюсь, это помогло тебе понять решение этой задачи! Если у тебя все еще есть вопросы, не стесняйся задать их!