// PascalABC.NET 3.0, сборка 1157 от 02.02.2016 begin var a:array[1..20] of integer; Randomize; for var i:=1 to 20 do a[i]:=Random(-50,50); a.Println; var b:=Range(2,20,2).Select(i->a[i]); Writeln('Элементы с четными индексами по возрастанию'); b.Sorted.Println; Writeln('Элементы с четными индексами по убыванию'); b.SortedDescending.Println; end.
Тестовое решение: -15 46 -34 -3 43 16 -17 -28 -19 12 -28 -11 48 -12 -1 33 -37 9 6 -40 Элементы с четными индексами по возрастанию -40 -28 -12 -11 -3 9 12 16 33 46 Элементы с четными индексами по убыванию 46 33 16 12 9 -3 -11 -12 -28 -40
Каждая из компонент связности должна быть кликой (иначе говоря, каждые две вершины в одной компоненте связности должны быть связаны ребром). Если в i-ой компоненте связности вершин, то общее число рёбер будет суммой по всем компонентам связности:
Требуется найти максимум этого выражения (т.е. на самом деле - максимум суммы квадратов) при условии, что сумма всех ni равна N и ni - натуральные числа.
Если K = 1, то всё очевидно - ответ N(N - 1)/2. Пусть K > 1.
Предположим, n1 <= n2 <= ... <= nK - набор чисел, для которых достигается максимум, и n1 > 1. Уменьшим число вершин в первой компоненте связности до 1, а оставшиеся вершины "перекинем" в K-ую компоненту связности. Вычислим, как изменится сумма квадратов: Поскольку по предположению n1 > 1 (тогда и nK > 1), то сумма квадратов увеличится, что противоречит предположению о том, что на выбранном изначально наборе достигается максимум. Значит, максимум достигается, если наименьшая по размеру компонента связности - изолированная вершина. Выкинем эту компоненту связности, останутся K - 1 компонента связности и N - 1 вершина. Будем продолжать так делать, пока не останется одна вершина, тогда получится, что во всех компонентах связности кроме последней должно быть по одной вершине.
begin
var a:array[1..20] of integer;
Randomize;
for var i:=1 to 20 do a[i]:=Random(-50,50); a.Println;
var b:=Range(2,20,2).Select(i->a[i]);
Writeln('Элементы с четными индексами по возрастанию');
b.Sorted.Println;
Writeln('Элементы с четными индексами по убыванию');
b.SortedDescending.Println;
end.
Тестовое решение:
-15 46 -34 -3 43 16 -17 -28 -19 12 -28 -11 48 -12 -1 33 -37 9 6 -40
Элементы с четными индексами по возрастанию
-40 -28 -12 -11 -3 9 12 16 33 46
Элементы с четными индексами по убыванию
46 33 16 12 9 -3 -11 -12 -28 -40
Требуется найти максимум этого выражения (т.е. на самом деле - максимум суммы квадратов) при условии, что сумма всех ni равна N и ni - натуральные числа.
Если K = 1, то всё очевидно - ответ N(N - 1)/2. Пусть K > 1.
Предположим, n1 <= n2 <= ... <= nK - набор чисел, для которых достигается максимум, и n1 > 1. Уменьшим число вершин в первой компоненте связности до 1, а оставшиеся вершины "перекинем" в K-ую компоненту связности. Вычислим, как изменится сумма квадратов:
Поскольку по предположению n1 > 1 (тогда и nK > 1), то сумма квадратов увеличится, что противоречит предположению о том, что на выбранном изначально наборе достигается максимум. Значит, максимум достигается, если наименьшая по размеру компонента связности - изолированная вершина. Выкинем эту компоненту связности, останутся K - 1 компонента связности и N - 1 вершина. Будем продолжать так делать, пока не останется одна вершина, тогда получится, что во всех компонентах связности кроме последней должно быть по одной вершине.
Итак, должно выполняться
Подставив в исходную формулу, получаем
Это и есть ответ.