Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида
mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.
Пример: 5x+2y=10
Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6
Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.
Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1
x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4
Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).
Данное уравнение имеет бесконечно много решений.
3) Историческая справка
Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.
В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.
Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.
4) Изучение нового материала.
Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0
Утверждение 1.
Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.
Пример: 34x – 17y = 3.
НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.
Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно Утверждение 2.
Если m и n уравнения (1) взаимно числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.
Утверждение 3.
Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:
где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z
Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)
m, n, x, y Z
Утверждение 4.
Если m и n – взаимно числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид
5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:
9x – 18y = 5
x + y= xy
Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?
Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.
Урок 2.
1) Организационный момент
2) Проверка домашнего задания
1) 9x – 18y = 5
НОД (9;18)=9
5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.
2) x + y= xy
Методом подбора можно найти решение
ответ: (0;0), (2;2)1) Орг. момент.
2) Актуализация опорных знаний.
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида
mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.
Пример: 5x+2y=10
Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6
Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.
Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1
x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4
Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).
Данное уравнение имеет бесконечно много решений.
3) Историческая справка
Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.
В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.
Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.
НОД (9;18)=9
5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.
Издревле купцы являлись едва ли не главной движущей силой месопотамской экономики. Так было и в эпоху шумеров, и в эпоху Вавилонского царства. Главный экспортный товар оставался прежним — продукты и изделия местных мастеров. Вавилонские купцы, как и в древности, привозили в страну прежде всего сырье — дерево, металлы, строительный камень, слоновую кость, драгоценные камни. С точки зрения развития торговли, город Вавилон обладал крайне выгодным положением. Располагаясь на перекрестке множества торговых путей, еще во времена Хаммурапи он стал одним из основных торговых центров как в Южном Двуречье, так и на всем Ближнем Востоке. Вавилонские купцы не только занимались простой куплей-продажей. Они вели активную посредническую деятельность, совершенствовали кредитное дело. Вавилонская экономика во многом была сходна с шумерской, что неудивительно — географическое положение и прочие основные условия были те же. Из страны вывозились изделия местных мастеров и продукты питания, обратно ввозилось сырье и предметы роскоши. Снижение урожайности полей и уменьшение экспорта продовольствия стимулировало купцов искать новые товары для продажи, что послужило косвенным толчком к быстрому развитию ремесел. В страну ввозились новые, неведомые ранее, виды сырья. Это влекло за собой новый виток технического развития, повышение качества изделий и увеличение спроса за границей на товары, вышедшие из рук вавилонских мастеров. По мере того, как расширялась торговля и богатели крупные города, повышался уровень жизни горожан, повышался спрос на предметы роскоши. В Вавилон текли ароматические масла, золото и драгоценные камни, слоновая кость, которой ранее не знали в Месопотамии. Список этих товаров наглядно показывает, какой размах приобрело торговое дело в Вавилоне . Масла — кипарисовое, кедровое, миртовое, лаванда, ладан для храмовых благовоний поставлялись из Индии, слоновая кость (как правило, в виде уже готовых изделий; в Вавилоне не владели навыками обработки этого материала) доставлялась из Финикии. Помимо ценных пород дерева для строительства храмов и дворцов (ливанские кедры, кипарис, бук) , купцы ввозили в Вавилон строительный и облицовочный камень. Это, в свою очередь, повлекло за собой развитие скульптуры — в частности, высокого и низкого рельефа. Лазурит (ляпис-лазурь) — синий камень, широко использовавшийся в древности для изготовления украшений и амулетов. Среди драгоценных камней особым спросом в Вавилонии пользовался лазурит. Его привозили из регионов, лежавших к северу и востоку от Вавилонии — из Афганистана, очевидно, также из Персии. Затем вавилоняне перепродавали часть изделий и необработанного лазурита в Египет и другие страны. Широкое хождение имел в Вавилонии жемчуг, добывавшийся, по-видимому, в Персидском заливе. Наконец, металлы. Месопотамия была крайне бедна полезными ископаемыми. Все металлы, которыми пользовались местные мастера, импортировались в страну. Источником меди были регионы на севере, в Малой Азии, в особенности Кавказ и Армянское нагорье. Оттуда же шло в Вавилон и железо — самый важный, стратегический, как сказали бы сейчас, материал. Железное оружие обеспечивало владеющему им существенный перевес над силами противника. Олово, добавлявшееся в медь для получения бронзы, возили из Средней Азии. Среднеазиатские серебряные рудники обеспечивали Вавилону приток основного платежного средства — серебра, повсевместно заменявшего в ту эпоху в Месопотамии деньги и полностью вытеснившего в этом качестве зерно. В огромных количествах ввозилось в Вавилонию золото. Основным его поставщиком был Египет, но что-то привозили из рудников на севере Двуречья, с гор. Уже в старовавилонскую эпоху в Месопотамии и торгующих с нею районах получила распространение система денежных единиц, имевшая хождение и долгое время после того, как был разрушен Вавилон. Основные денежные меры веса — талант (30,3 кг) , мина (505 г) , сикль, или шекель (8,4 г) , и самая мелкая единица — ше (букв. “зерно” — ок. 5 мг).
1) Орг. момент.
2) Актуализация опорных знаний.
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида
mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.
Пример: 5x+2y=10
Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6
Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.
Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1
x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4
Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).
Данное уравнение имеет бесконечно много решений.
3) Историческая справка
Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.
В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.
Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.
4) Изучение нового материала.
Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0
Утверждение 1.
Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.
Пример: 34x – 17y = 3.
НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.
Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно Утверждение 2.
Если m и n уравнения (1) взаимно числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.
Утверждение 3.
Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:
где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z
Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)
m, n, x, y Z
Утверждение 4.
Если m и n – взаимно числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид
5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:
9x – 18y = 5
x + y= xy
Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?
Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.
Урок 2.
1) Организационный момент
2) Проверка домашнего задания
1) 9x – 18y = 5
НОД (9;18)=9
5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.
2) x + y= xy
Методом подбора можно найти решение
ответ: (0;0), (2;2)1) Орг. момент.
2) Актуализация опорных знаний.
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида
mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.
Пример: 5x+2y=10
Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6
Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.
Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1
x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4
Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).
Данное уравнение имеет бесконечно много решений.
3) Историческая справка
Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.
В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.
Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.
НОД (9;18)=9
5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.
2) x + y= xy
Методом подбора можно найти решение
ответ: (0;0), (2;2)
Вавилонская экономика во многом была сходна с шумерской, что неудивительно — географическое положение и прочие основные условия были те же. Из страны вывозились изделия местных мастеров и продукты питания, обратно ввозилось сырье и предметы роскоши. Снижение урожайности полей и уменьшение экспорта продовольствия стимулировало купцов искать новые товары для продажи, что послужило косвенным толчком к быстрому развитию ремесел. В страну ввозились новые, неведомые ранее, виды сырья. Это влекло за собой новый виток технического развития, повышение качества изделий и увеличение спроса за границей на товары, вышедшие из рук вавилонских мастеров.
По мере того, как расширялась торговля и богатели крупные города, повышался уровень жизни горожан, повышался спрос на предметы роскоши. В Вавилон текли ароматические масла, золото и драгоценные камни, слоновая кость, которой ранее не знали в Месопотамии. Список этих товаров наглядно показывает, какой размах приобрело торговое дело в Вавилоне . Масла — кипарисовое, кедровое, миртовое, лаванда, ладан для храмовых благовоний поставлялись из Индии, слоновая кость (как правило, в виде уже готовых изделий; в Вавилоне не владели навыками обработки этого материала) доставлялась из Финикии.
Помимо ценных пород дерева для строительства храмов и дворцов (ливанские кедры, кипарис, бук) , купцы ввозили в Вавилон строительный и облицовочный камень. Это, в свою очередь, повлекло за собой развитие скульптуры — в частности, высокого и низкого рельефа.
Лазурит (ляпис-лазурь) — синий камень, широко использовавшийся в древности для изготовления украшений и амулетов. Среди драгоценных камней особым спросом в Вавилонии пользовался лазурит. Его привозили из регионов, лежавших к северу и востоку от Вавилонии — из Афганистана, очевидно, также из Персии. Затем вавилоняне перепродавали часть изделий и необработанного лазурита в Египет и другие страны. Широкое хождение имел в Вавилонии жемчуг, добывавшийся, по-видимому, в Персидском заливе. Наконец, металлы. Месопотамия была крайне бедна полезными ископаемыми. Все металлы, которыми пользовались местные мастера, импортировались в страну. Источником меди были регионы на севере, в Малой Азии, в особенности Кавказ и Армянское нагорье. Оттуда же шло в Вавилон и железо — самый важный, стратегический, как сказали бы сейчас, материал. Железное оружие обеспечивало владеющему им существенный перевес над силами противника. Олово, добавлявшееся в медь для получения бронзы, возили из Средней Азии. Среднеазиатские серебряные рудники обеспечивали Вавилону приток основного платежного средства — серебра, повсевместно заменявшего в ту эпоху в Месопотамии деньги и полностью вытеснившего в этом качестве зерно.
В огромных количествах ввозилось в Вавилонию золото. Основным его поставщиком был Египет, но что-то привозили из рудников на севере Двуречья, с гор. Уже в старовавилонскую эпоху в Месопотамии и торгующих с нею районах получила распространение система денежных единиц, имевшая хождение и долгое время после того, как был разрушен Вавилон. Основные денежные меры веса — талант (30,3 кг) , мина (505 г) , сикль, или шекель (8,4 г) , и самая мелкая единица — ше (букв. “зерно” — ок. 5 мг).