Учёный давид гильберд на втором международном конгрессе в париже в 1900 году предоставил список проблем в на то время. список состоял из 23 пунктов. за сто лет на эти вопросы были найдены решения полностью или частично. и поэтому американский учёный стивен смейл в 2000 году предложил новый список нерешённых проблем. а институт клэя выдвинул ещё один список из 7-ми самых сложных и важных . за решение каждой из них институт клэя объявил награду миллион долларов. 1равенство классов p и np 2гипотеза ходжа 3гипотеза пуанкаре 4гипотеза римана 5решение уравнений квантовой теории янга — миллса 6существование и гладкость решений уравнений навье — стокса 7гипотеза бёрча — свиннертон-дайера
Основными направлениями внешней политики правительства Николая I являлись: борьба с революционным движением в Европе, стремление захватить средневосточные рынки, присоединение к России Каспийского побережья и решение восточного вопроса, которое означало преобладание в турецких делах, установление контроля в проливах Босфор и Дарданеллы и влияние на Балканах.
Русско-иранская война 1826-1828 гг. завершилась Туркманчайским миром, по которому к России присоединилась восточная Армения. Россия также одержала победу в войне с Турцией в 1828-1829 гг. , и по Адрианопольскому миру к ней отошли Анапа, Поти, Ахалцих и Алхалкалаки. В этой ситуации становилось возможным и неизбежным подчинение Россией всего Кавказа.
Начавшееся движение мюридов1 в 30-х гг. возглавил имам Шамиль, одержавший ряд побед над русскими войсками. На территориях Дагестана и Чечни он создал государственную систему – имамат – с многочисленной армией. Но уже в конце 40-х гг. в государственной системе Шамиля стали проявляться признаки кризиса. Царизм воспользовался экономическим и военным ослабле-нием имамата. Перевооруженная и численно увеличившаяся русская армия перешла в наступле-ние. В 1859 г. остатки войска Шамиля были окончательно разбиты.
Присоединение Кавказа к России было завершено в 1864 г.
Значительно обострились противоречия между Россией и европейскими странами после под-писания в 1833 г. Турцией и Россией Ункияр-Искелессийского договора, установившего оборони-тельный военный союз с обязательством взаимной военной защиты.
К середине XIX в. восточный вопрос во внешней политике стран Европы занял важнейшее место. Франция и Англия стремились к военному и торговому приоритету на Средиземном море; Австрия – к экспансии территории Османской империи; Россия – к полному разгрому в одиночку Турции, выходу в Средиземное море, закрытию входа в Черное море чужому флоту и усилению влияния на славянские народы Балкан. Все это привело к Крымской войне (1853-1856), которая началась с переправы русских войск через р. Прут и занятия территории Молдавии и Валахии. Осенью 1853 г. русская эскадра под командованием адмирала П. С. Нахимова (1802-1855) разгро-мила турецкий флот в Синоп-ской бухте. Но европейские державы не намеривались допустить по-беды России над Турцией. Английская и французская военные эскадры вошли в бухту Золотой Рог. Россия теперь вынуждена была воевать против Англии, Франции, итальянских государств – Пьемонта и Сардинии. Военные действия были перенесены в Крым. Главная военно-морская база России на Черном море – Севастополь оказалась в осаде. После 11 месяцев защиты Севастополь пал.
18 марта 1856 г. в Париже был подписан мир, по которому Россия уступала Турции часть Бессарабии, возвращала крепость Карс. России запрещалось иметь военный флот на Черном море и восстанавливать Севастополь как крепость.
Поражение России показало глубокий кризис самодержавно-крепостнического строя, ее от-сталость от передовых стран Европы, настоятельно продиктовало необходимость коренных пре-образований во всех областях жизни, вывело страну из состояния политической неподвижности, вызвало протест широких слоев общества против существующих порядков, обусловило рост кре-стьянских выступлений. Самодержавие вынуждено было приступить к самосовершенствованию и саморегулированию на основе рыночных отношений и свободы граждан.