3)найдите промежутки возрастания и убывания функции : f(x)=-x⁴+8x²-9 4)найдите критические точки функции.определитель какие из них являются точками минимума а какие точки максимума f(x)=9+8x²-4x⁴ 5) найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x³/3 - x²+1 на [-3; 1]
Исследование на точки экстремума и монотонность. Находится производная, приравнивается к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.
Производная равна y' = -4x³ +16x.
На промежутках находят знаки производной . Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
Приравниваем производную нулю: -4x³ +16x = -4х(х² - 4) = 0.
Получаем 3 критические точки: х = 0, х = -2 и х = 2.
Находим знаки производной:x = -3 -2 -1 0 1 2 3
y' = 60 0 -12 0 12 0 -60.
Функция возрастает на промежутках (-∞; -2) и (0; 2),
убывает на промежутках (-2; 0) и (2; ∞).
4)Найдите критические точки функции.определитель какие из них являются точками минимума а какие точки максимума f(x)=9+8x²-4x⁴.
y'= -16x³ + 16x = -16x(x² - 1).
-16x(x² - 1) = 0. Имеем 3 критические точки: х = 0, х = -1 и х = 1.
x = -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
y' = 96 0 -6 0 6 0 -96.
2 максимума х = -1 и х = 1, минимум х = 0.
5)
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = (x³/3) - x²+1 на [-3;1].
y' = x² - 2x = x(x - 2) = 0. Имеем 2 критические точки х = 0 х = 2.
x = -1 0 1 2 3
y' = 3 0 -1 0 3.
В точке х = 0 локальный максимум, на отрезке (-∞; 0) функция возрастает, значит, в точке х = -3 будем минимальное значение функции на заданном промежутке [-3;1].
х = -3, у = (-27/3)-9+1 = -17.
Максимум х = 0, у = 1.