4) В квартире 13 человек, кошек и мух. У всех вместе 42 ноги, причем у каждой мухи 6 ног. Сколько было в отдельности людей, кошек и мух

Введём обозначение НОД(a; b) = n. Так как a•b = НОД(a; b)•НОК(a; b), то

НОК(a; b) = a•b/НОД(a; b) = a•b/n.

Рассмотрим числа c = a/n и d = b/n. Тогда c и d взаимно простые числа. Поэтому HOД(c; d) = 1 и НОК(c; d) = c•d.

Далее, так как a = c•n и b = d•n, то

6•(a+b) = 6•(c•n+d•n) = 6•n•(c+d) и НОД(a; b)+НОК(a; b) = n + a•b/n.

Отсюда

6•n•(c+d) = n + a•b/n или

6•(c+d) = 1 + a•b/n² = 1 + (a/n)•(b/n) = 1 + c•d = HOД(c; d) + НОК(c; d), то есть

6•(c+d) = HOД(c; d) + НОК(c; d).

Так как c ≤ a и d ≤ b, то последнее равенство означает, что наименьшее значение a•b следует искать среди чисел, для которых HOД(a; b) = 1.

Найдём целочисленные решения уравнения

6•(c+d) = 1 + c•d.

6•(c+d) = 1 + c•d ⇔ 6•c–c•d = 1–6•d ⇔ c•(6–d) = 1–6•d ⇔

⇔ c = (1–6•d)/(6–d) = (6•d–1)/(d–6) = (6•d–36+35)/(d–6) = 6+35/(d–6).

Значит, 35 делится на d–6, поэтому

d = 7 или 11 или 13 или 41.

Отсюда

c = 41 или 13 или 11 или 7.

Тогда получим следующие пары:

(7; 41), (11; 13), (13; 11), (41; 7).

Так как 7•41 = 287 и 11•13 = 143, то наименьшее произведение равно 143

Вечером в 21:00 я ложусь спать. Просыпаюсь где-то в 6:30. Сон длится 9 часов 30 минут. В 7:00 я иду в школу. В 8:00 начинаются уроки. В 13:10 уроки заканчиваются и я иду домой. В 14:00 я прихожу домой и переодеваюсь. В 14:10 я кушаю. В 14:20 я занимаюсь чем хочу смотрю фильмы или рисую. В 16:30 я собираюсь и ухожу на занятия по английскому. В 17:00 начинаются занятия. В 18:00 занятия заканчиваются и я иду домой. В 18:30 я возвращаюсь домой и начинаю делать уроки. В 19:00 я иду кушать. В 19:20 я снова иду делать уроки. В 21:00 иду спать.