Для каждой позиции числа запомним строчку из трёх значков, в которой на i-м месте стоит +, если Игорь спросил про эту позицию на i-м шаге, и -, если не спросил. Например, строчка +-+ соответствует позиции, про которую спросили в первом и третьем вопросах.
Заметим, что если такие строчки для каких-то двух позиций совпадут, то Игорь не сможет узнать, на каком из этих двух мест какое число стоит, эти позиции для него ничем не отличаются. Так как различных строчек из трёх символов 2^3 = 8, то N <= 8.
N = 8 не подходит, про какую-то позицию он будет вынужден не спросить ни разу (это соответствует строчке ---), но тогда он не будет уверен, какая цифра стоит на этой позиции: есть 3 возможных варианта.
N = 7 подходит. Пусть на первом шаге он спрашивает про позиции 1, 3, 5, 7; на втором — про 2, 3, 6 и 7; на третьем — про 4, 5, 6 и 7. Тогда по тому, на каком шаге какое число появилось, он легко определит, где какая цифра где стоит. Например, если цифра 7 появилась в ответах на вопросы 1 и 3, то она на пятой позиции.
Пронумеруем разряды числа номерами от 1 до N. Пусть три хода Игоря выделяют подмножества разрядов M₁, M₂ и M₃. Каждому разряду с номером k сопоставим тройку чисел s(k)=(a₁,a₂,a₃) по правилу , если и , если , где i=1,2,3. Назовем эту тройку сигнатурой разряда. Если для каких то двух разрядов c номерами k и m оказалось s(k)=s(m), то у Игоря нет никакой принципиальной возможности определить какая цифра в какой позиции находится. Поэтому количество цифр, которое может определить Игорь за 3 хода, не превосходит количества различных троек s(k), т.е. не превосходит 2³=8, и значит N≤8. И если Игорь хочет определять своими ходами максимальное количество разрядов, то ходы ему надо составлять так, чтобы каждой сигнатуре принадлежал только один разряд. и M₁∪M₂∪M₃ охватывало как можно больше разрядов. Если для какого-то разряда его сигнатура оказалась (0,0,0), т.е. этот разряд вообще не был затронут ходами Игоря, то определить цифру в этом разряде невозможно, т.к. цифр всего 10 и 10>8. Т.е. Игорь может определять цифры только в тех разрядах, которые принадлежат M₁∪M₂∪M₃. Значит N≤7. Покажем, что при N=7 множества M₁, M₂ и M₃ можно выбрать так, что каждой сигнатуре будет принадлежать только один разряд, и значит 7 цифр Игорь сможет всегда определить, например, с следующих ходов: M₁={1,2,3,7}, M₂={1,5,6,7}, M₃={3,4,5,7} (см. рисунок). В ответе Миши будут названы цифры, стоящие в разрядах с соответствующими номерами. Тогда та цифра, которая будет фигурировать во всех трех ответах Миши, находится в 7-ом разряде, т.к. s(7)=111 и с такой сигнатурой этот разряд единственный. Та цифра, которая будет фигурировать в 1-ом и 2-ом, но не в 3-м ответе Миши находится в разряде с номером 1 (см. рисунок), т.к. s(1)=110 и опять, с этой сигнатурой имеется только один разряд. Цифра, которая будет фигурировать, например в 3-м ответе Миши, но не в 1-ом и не во 2-ом, соответствует позиции 4, т.к. s(4)=001 и т.д. Итак, по ответам Миши мы определяем сигнатуру каждой упомянутой цифры (смотрим, в каких ответах эта цифра есть, а в каких ее нет), и поскольку сигнатура однозначно связана с номером разряда, мы определяем позицию этой цифры.
Заметим, что если бы число было записано в восьмеричной системе счисления, то Игорь мог бы определить все цифры при N=8, т.к. определив семь позиций у него оставалась бы одна не задействованная цифра на 8-ую позицию.
Для каждой позиции числа запомним строчку из трёх значков, в которой на i-м месте стоит +, если Игорь спросил про эту позицию на i-м шаге, и -, если не спросил. Например, строчка +-+ соответствует позиции, про которую спросили в первом и третьем вопросах.
Заметим, что если такие строчки для каких-то двух позиций совпадут, то Игорь не сможет узнать, на каком из этих двух мест какое число стоит, эти позиции для него ничем не отличаются. Так как различных строчек из трёх символов 2^3 = 8, то N <= 8.
N = 8 не подходит, про какую-то позицию он будет вынужден не спросить ни разу (это соответствует строчке ---), но тогда он не будет уверен, какая цифра стоит на этой позиции: есть 3 возможных варианта.
N = 7 подходит.
Пусть на первом шаге он спрашивает про позиции 1, 3, 5, 7; на втором — про 2, 3, 6 и 7; на третьем — про 4, 5, 6 и 7. Тогда по тому, на каком шаге какое число появилось, он легко определит, где какая цифра где стоит. Например, если цифра 7 появилась в ответах на вопросы 1 и 3, то она на пятой позиции.
ответ. 7
M₁={1,2,3,7}, M₂={1,5,6,7}, M₃={3,4,5,7} (см. рисунок).
В ответе Миши будут названы цифры, стоящие в разрядах с соответствующими номерами.
Тогда та цифра, которая будет фигурировать во всех трех ответах Миши, находится в 7-ом разряде, т.к. s(7)=111 и с такой сигнатурой этот разряд единственный.
Та цифра, которая будет фигурировать в 1-ом и 2-ом, но не в 3-м ответе Миши находится в разряде с номером 1 (см. рисунок), т.к. s(1)=110 и опять, с этой сигнатурой имеется только один разряд.
Цифра, которая будет фигурировать, например в 3-м ответе Миши, но не в 1-ом и не во 2-ом, соответствует позиции 4, т.к. s(4)=001 и т.д. Итак, по ответам Миши мы определяем сигнатуру каждой упомянутой цифры (смотрим, в каких ответах эта цифра есть, а в каких ее нет), и поскольку сигнатура однозначно связана с номером разряда, мы определяем позицию этой цифры.
Заметим, что если бы число было записано в восьмеричной системе счисления, то Игорь мог бы определить все цифры при N=8, т.к. определив семь позиций у него оставалась бы одна не задействованная цифра на 8-ую позицию.