7. нормаль к плоскости a составляет с координатными осями равные острые углы. составить уравнение плоскости при условии, что расстояние от начала координат до неё равно 4 ед. определить, при каком значении m плоскость a будет перпендикулярна плоскости b: 2x-my+4z+3=0

а) Если нормаль к плоскости a составляет с координатными осями равные острые углы, то эта плоскость отсекает на осях равные отрезки.

Длину этих отрезков примем за к.

Уравнение плоскости а в "отрезках": (x/k) + (y/k) + (z/k) = 1.

Освободимся от знаменателей и получим общее уравнение плоскости "а": x + y + z - k = 0. В этом уравнении  коэффициенты А = В = С = 1.

Теперь воспользуемся формулой расстояния точки от плоскости.

d = |AMx + BMy + CMz + D|/√(A² + B² + C²) и приравняем заданной величине 4.

Заданная точка - это начало координат, значения - нули.

4 = |1*0 + 1*0 + 1*0 + k|/√(1² + 1² + 1²) = k/√3.

Отсюда получаем значение свободного члена в уравнении плоскости: к = 4√3.

Получаем ответ: уравнение плоскости "а": x + y + z - 4√3 = 0.  

б) Для перпендикулярности плоскостей  необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов равнялось нулю.

Нормальные векторы плоскостей:

- а: (1; 1; 1),

- b: (2; -m; 4).

a x b = 2 - m + 4 = 0,

m = 6.