90. На рисунке изображена правильная четырехугольная пирамида, объ-
ем которой V = 3840 см3, а высота SO = 2 дм.
Найдите:
1) площадь основания ABCD;
2) сторону основания AB;
3) диагональ основания АС;
4) боковое ребро AS;
5) апофему SE пирамиды.
​

Добрый день! Давайте решим поставленную задачу шаг за шагом.

1) Площадь основания ABCD:
Для начала нам нужно знать, что у правильной четырехугольной пирамиды площадь основания равна удвоенному площади равностороннего треугольника, с одним из его высот:

ABC - правильный треугольник, так как пирамида является правильной четырехугольной пирамидой. В таком треугольнике все стороны равны и все углы равны 60 градусов.

Таким образом, для нахождения площади основания ABCD необходимо найти площадь равностороннего трегольника ABC и удвоить ее.

Для нахождения площади треугольника ABC используется следующая формула:
S = (a^2 * √3) / 4
где а - сторона треугольника ABC.

Так как у нас правильный треугольник, все стороны равны. Заметим, что это равносторонний треугольник со стороной а.

Подставим известные значения:
S = (a^2 * √3) / 4.

2) Сторона основания AB:
Сторона основания AB также равна стороне равностороннего треугольника ABC.
Заметим, что вертикали, опущенные из вершин треугольника ABC, будут являться высотой правильного треугольника.

Используя теорему Пифагора, можем найти сторону AB треугольника ABC. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
AB^2 = BC^2 + AC^2.

Учитывая, что треугольник ABC - равносторонний, то:
AB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2.

Применяя корень к обеим сторонам уравнения, получим:
AB = √(2a^2) = √2 * a.

3) Диагональ основания AC:
Диагональ основания AC является биссектрисой треугольника ABC. Для нахождения длины этой диагонали воспользуемся формулой:
AC = 2 * AM,
где AM - медиана треугольника.

Так как треугольник ABC является равносторонним, AM является медианой и одновременно биссектрисой. АМ равняется 2/3 высоты равностороннего треугольника ABC.

Высота SO равна 2 дм = 20 см. Тогда AM = 2/3 * 20 = 40/3 см.

Таким образом, AC = 2 * AM = 2 * 40/3 = 80/3 см.

4) Боковое ребро AS:
Боковое ребро AS можно найти с помощью теоремы Пифагора для треугольника AOS. В этом прямоугольном треугольнике гипотенузой является AS, катетом - SO, а второй катет можно найти с помощью основания AB.

Сначала найдем длину стороны треугольника AOS:
AS^2 = AO^2 + OS^2.

Так как пирамида правильная, AO является высотой равностороннего треугольника ABC, и равна 20 см.

Теперь найдем длину стороны OS:
OS = AB / 2 = (√2 * a) / 2 = √2 * a / 2.

Теперь можем подставить значения в уравнение:
AS^2 = 20^2 + (√2 * a / 2)^2,
AS^2 = 400 + 2 * a^2 / 4.

Применив упрощение, получаем:
AS^2 = 400 + a^2 / 2.

5) Апофема SE пирамиды:
Апофема является радиусом окружности, описанной вокруг основания пирамиды.
Для нахождения апофемы можно использовать теорему Пифагора для треугольника ASE, где гипотенузой является AE.

AE^2 = AS^2 + SE^2.
SE^2 = AE^2 - AS^2.

SE можно найти, используя радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник ABC, исходя из высоты треугольника.
Радиус окружности вписанной в треугольник равен 2/3 высоты треугольника, то есть 2/3 * 20 = 40/3 см.

Применяя формулу радиуса окружности, получим:
SE = a / 2√3.

Затем подставляем значения:
SE^2 = (a / 2√3)^2.

Теперь можем объединить все уравнения, чтобы найти ответы на все вопросы задачи.

Пожалуйста, проследуйте к следующему шагу.