Аборигены на острове всегда говорят правду знакомым аборигенам и лгут незнакомым. Собрались как-то 44 аборигена, и каждый сказал каждому из присутствующих одну из двух фраз: «У меня чётное число знакомых в этой компании» или «У меня нечётное число знакомых в этой компании». Могло ли оказаться, что первая фраза произнесена ровно 2021 раз?

Первый

Ивану Царевичу нужно загадать 15 552. Каждый день он будет делить это число на натуральное, превосходящее 1. Лучше всего делить на 2, но 2 дня подряд нельзя использовать одно и то же число, поэтому на второй день он поделит то, что получилось, на 3. На третий день снова на 2 и так далее. Чередование 2 и 3.

Делим:

15 552 / 2 = 7 776 (первый день);

7 776 / 3 = 2 592 (второй день);

2 592 / 2 = 1 296 (третий день);

1 296 / 3 = 432 (четвёртый день);

432 / 2 = 216 (пятый день);

216 / 3 = 72 (шестой день);

72 / 2 = 36 (седьмой день);

36 / 3 = 12 (восьмой день);

12 / 2 = 6 (девятый день);

6 / 3 = 2 (десятый день);

2 / 2 = 1 (одиннадцатый день, в который его съедят).

Итак, загадав 15552, Иван Царевич сможет продержаться ещё 10 дней.

Чтобы получить это число, необходимо понимать, что в конце концов мы придём к 1. Поэтому 15552 мы получим следущий образом:

1 × 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3 × 2 (6 умножений на 2 и 5 умножений на 3).

ответ: 15 552.

Второй

Внимательно изучив условие задачи, мы приходим к выводу, что достаточно взять самые близкие к единице натуральные числа и по очереди их перемножать, пока не получится число, близкое к 3 000. Это числа 2 и 3.

2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3 × 2 = 2 592.

ответ:  2 592.

Для вычисления определителя приведем матрицу к верхнетреугольному виду, используя элементарные преобразования над строками матрицы и свойства определителя матрицы.

det A = 3   5   3   2

            2   4   1   0

            1  -2   5   1

            2   1  -2   4 =  

от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 2/3; от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 1/3; от 4 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 2/3

= 3        5        3          2

   0       2/3     -1       -4/3

   0    -11/3     4         1/3

   0    -7/3      -4         8/3 =  

к 3 строке добавляем 2 строку, умноженную на 5.5; к 4 строке добавляем 2 строку, умноженную на 3.5

= 3        5         3         2

   0       2/3      -1      -4/3

   0       0      -1.5        -7

   0       0      -7.5        -2 =  

от 4 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 5

= 3         5         3           2

   0         2/3     -1        -4/3

   0          0      -1.5       -7

   0         0         0          33  =  3•23•(-1.5)•33 = -99

.Если надо просто находить значение определителя, то удобно использовать программу Excel.

Дан пример такого расчёта.