Давайте разберемся с данным вопросом по порядку.
Будет ли множество А с операцией * полугруппой?
Для того, чтобы множество А с операцией * было полугруппой, необходимо выполнение двух условий:
1. Закон ассоциативности: для любых трех элементов a, b и c из множества A должно выполняться равенство (a * b) * c = a * (b * c).
2. Операция * должна определена на всех элементах множества A.
Теперь применим эти условия к данной задаче.
1. Закон ассоциативности:
Пусть a, b и c - произвольные элементы множества A.
Тогда согласно определению операции *:
(a * b) * c = 2((a + b) + c) = 2(a + b + c)
a * (b * c) = 2(a + (b + c)) = 2(a + b + c)
Здесь мы видим, что (a * b) * c = a * (b * c) для всех a, b, c из множества A.
Таким образом, первое условие - закон ассоциативности, выполняется.
2. Операция * определена на всех элементах множества N:
Все элементы множества N - это натуральные числа, и операция * в данной задаче определена для всех пар натуральных чисел. Значит, второе условие - операция * определена на всех элементах множества N, также выполняется.
Таким образом, множество А с операцией * является полугруппой.
Существует ли в данной задаче нейтральный элемент?
Нейтральный элемент в полугруппе - это такой элемент e, что для любого элемента a из множества A выполняется равенство a * e = e * a = a.
Давайте попробуем найти такой нейтральный элемент.
Пусть e - нейтральный элемент множества A.
Тогда для любого a из множества N должно выполняться:
a * e = 2(a + e) = a (по свойству нейтрального элемента)
2a + 2e = a (сократим 2 с обеих сторон)
2e = -a + a (подставим a = 1 влево)
2e = 0
e = 0
Таким образом, нейтральным элементом данной полугруппы является 0.
Итак, в данной задаче множество А с операцией * является полугруппой и имеет нейтральный элемент 0.
